Свойства определителей
1. Определитель не изменяется при транспонировании матрицы.
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
3. Определитель равен нулю, если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.
4. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
5. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
6. Множитель, общий для всех элементов некоторой строки (столбца), можно вынести за знак определителя.
7. Если строка определителя является суммой двух строк, то можно записать определитель виде суммы двух соответствующих определителей.
8. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца)
прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на одно и то же число (элементарное преобразование определителя).
,
Здесь первую строку прибавили ко второй (предварительно умножили на 1).
Пример. Вычислить определитель 4-го порядка
.
.
(1‑ый определитель 4-го порядка получен из исходного умножением 4‑ой строки поочередно на -6, -2, -3 и прибавлением ее соответственно к 1-ой, 2-ой, 3-ей строкам).
СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Вопросы
Линейное уравнение.
Тривиальное уравнение.
Противоречивое уравнение.
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Как можно представить СЛАУ в виде расширенной матрицы.
Что такое решение СЛАУ.
Что значит «решить СЛАУ».
Какая СЛАУ называется несовместной.
Какая СЛАУ называется совместной.
Какая СЛАУ называется неопределенной.
Какая СЛАУ называется определенной.
Какие СЛАУ называются равносильными.
Какое неизвестное системы называется разрешенным.
Какое уравнение системы называется разрешенным.
Какое неизвестное системы называется свободным.
Какая система называется разрешенной.
Что называется общим решением СЛАУ.
Линейное уравнение – это уравнение вида:
.
Здесь
– неизвестные,
– коэффициенты уравнения, b
– свободный член.
Тривиальное уравнение – это уравнение вида:
.
Решением тривиального уравнения является любой набор чисел.
Противоречивое уравнение – это уравнение вида:
.
Решением тривиального уравнения не является никакой набор чисел.
Система линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ)
размерности
– это m линейных
уравнений, каждое от n
одних и тех же неизвестных.
……….
.
Например:
Матрица (коэффициентов) СЛАУ – это матрица, составленная из коэффициентов перед неизвестными:
.
Для предыдущего примера:
Формула приведена для системы из 3 уравнений с 3 неизвестными.
Расширенная матрица системы – это матрица системы и столбец свободных членов:
.
Для предыдущего примера:
Решение СЛАУ
– это любой набор чисел, при подстановке
которого вместо неизвестных
,
каждое уравнение системы становится
тождеством (т. е. превращается в истинное
равенство).
«Решить СЛАУ» – значит указать все множество ее решений или убедится в том, что их нет.
СЛАУ называется несовместной – если у нее нет решений.
СЛАУ называется совместной – если она имеет решения (хотя бы одно).
СЛАУ называется определенной – если она имеет единственное решение.
СЛАУ называется неопределенной – если она имеет бесконечно много решений.
СЛАУ называются равносильными – если они имеют одно и тоже множество решений.
Неизвестное системы называется разрешенным, если оно содержится только в одном уравнении системы, причем с коэффициентом 1.
Например:
Здесь разрешенным является неизвестное х.
Уравнение системы называется разрешенным, если в нем есть разрешенное неизвестное.
В предыдущем примере первое уравнения – разрешенное.
СЛАУ называется разрешенной, если в ней все уравнения разрешенные.
Например:
,
здесь в каждом из двух уравнений есть разрешенные неизвестные. В первом это у, во втором – х.
Неизвестное системы называется свободным, если оно не является разрешенным. Свободное неизвестное может принимать любые значения. Значения разрешенных неизвестных находятся в зависимости от значения свободной неизвестной. Если в системе есть свободные неизвестные, она имеет бесконечно много решений, то есть является неопределенной.
Общее решение СЛАУ, это разрешенная система, где все разрешенные неизвестные уединены.
Например, если разрешенная система имеет вид:
,
то общее решение:
.
Здесь z – является свободной неизвестной.
Частное решение системы получается из общего решения, если свободной неизвестной придать конкретное значение.
Например, если общее решение имеет вид:
,
то при z = 1, получим частое решение вида:
Частное решение (-9, 16, 1)
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ