5.4. Теоремы, уставливающие связь между частостью события и его вероятностью

Пусть производится n независимых экспериментов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А. Вероятность появления этого события в каждом эксперименте равна р.

Теорема 5.7 (теорема Бернулли). При неограниченном увеличении числа экспериментов n относительная частота события А, вероятность которого в каждом эксперименте равна р, сходится по вероятности к вероятности р этого события:

для любого >0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим независимые случайные величины – число появлений события А в i-м эксперименте, . Ясно, что эти величины дискретны и заданы следующим рядом распределения:

Xi	1	0
рi	р	q

.

Значение X_i =1, если событие А наступило в i-м эксперименте, и X_i =0, если событие А не наступило. Математическое ожидание каждой из величин X_i равно , а дисперсия . И так как , то (воспользовались неравенством ). Следовательно, дисперсии всех случайных величин X_i ограничены. Кроме того, - числу появлений события А в n независимых экспериментах и ,

Тогда, применяя теорему Чебышева, получаем

,

что и требовалось доказать.

Теорема Бернулли служит основой интуитивного представления о вероятности и является классическим законом больших чисел.

Более точным и вместе с тем также описывающим основные свойства случайности, которые присущи интуитивному представлению о вероятности, является усиленный закон больших чисел.

Теорема 5.8. Для любого >0 с вероятностью 1 осуществится лишь конечное число событий, для которых выполняется неравенство

.

Если вероятность появления события А изменяется от эксперимента к эксперименту, то справедлива

Теорема 5.9 (теорема Пуассона). При неограниченном увеличении числа независимых экспериментов, в которых событие А появляется с вероятностями р₁, р₂, …, р_n, относительная частота события А сходится по вероятности к средней вероятности события

для любого >0.

Теорема Пуассона является частным случаем теоремы Чебышева, так как , а , где - число появлений события А в i-м эксперименте.

Теорема Пуассона имеет большое принципиальное значение для практического применения теории вероятностей. Дело в том, что нередко вероятностные методы используются для исследования явлений, которые в одних и тех же условиях не могут повториться достаточное число раз, но повторяются многократно при различных условиях, причем вероятности интересующих нас событий в значительной степени зависят от этих условий.

Вопросы для самопроверки

1. Какую сходимость определяет теорема Бернулли?

2. Что определяют независимые случайные величины

3. Что обосновывает теорема Бернулли?

4. Чем отличается теорема Бернулли от теоремы Пуассона?

5.5. Понятие центральной предельной теоремы. Нормальное распределение как предельное для биномиального и пуассоновского распределений

Мы рассмотрели различные формы закона больших чисел, которые утверждают сходимость по вероятности тех или иных случайных величин к определенным постоянным. Причем ни в одной теореме не использовали законов распределения случайных величин. Законы распределения случайных величин рассматриваются в центральной предельной теореме. Согласно центральной предельной теореме, закон распределения суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) слагаемых, каждое из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму, сколь угодно близко к нормальному закону распределения.

Приведем несколько предельных теорем теории вероятностей без доказательств. При этом случайную величину вида

(5.7)

будем называть нормированной суммой (центрированной случайной величиной).

Теорема 5.10 (теорема Линдеберга- Леви). Если X₁, X₂,…, X_n,… - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией , то при неограниченном увеличении n закон нормированной суммы сходится по вероятности к нормальному закону с плотностью вероятностей , для которого m=0, =1.

Следует отметить, что и для неодинаково распределенных случайных величин справедлива центральная предельная теорема.

Теорема 5.11 (теорема Ляпунова). Если X₁, X₂,…, X_n,… - независимые случайные величины, имеющие математические ожидания m_i, дисперсии 𝜎_i² и конечные абсолютные центральные моменты третьего порядка , удовлетворяющие условиям

, (5.8)

то при неограниченном увеличении n закон распределения нормированной суммы (5.7) сходится по вероятности к нормальному закону с плотностью вероятностей , для которого m=0, =1.

Смысл ограничения (5.8) состоит в том, чтобы случайные величины были сравнимы по степени своего влияния на рассеивание суммы, т.е. дисперсия каждой случайной величины составляет лишь малую долю общей дисперсии суммы . Если бы это было бы не так, то закон распределения суммы определялся бы в основном величиною , для которой дисперсия значительно больше, чем для других случайных величин.

В практических задачах центральную предельную теорему часто используют для вычисления вероятности того, что сумма нескольких случайных величин примет значение, принадлежащее интервалу.

Действительно, пусть , - независимые случайные величины с математическими ожиданиями , и дисперсиями . Тогда, если каждое из слагаемых равномерно мало влияет на сумму , то закон распределения случайной величины можно считать приближенно нормальным. И вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , выражается формулой

,

где .

Пример 5.2. Предположим, что распределение числа заменяемых кинескопов за двадцатилетний срок работы телевизора характеризуется математическим ожиданием m=5 и средним квадратичным отклонением σ=1,5. Найти вероятность того, что в течении 20 лет для 10 телевизоров понадобится от 40 до 60 кинескопов.

Р е ш е н и е. Представим общее число заменяемых кинескопов за 20 лет как сумму: , где - число заменяемых кинескопов в i-м телевизоре в течение 20 лет работы.

Так как величины распределены одинаково, можно использовать центральную предельную теорему:

т.е. с вероятностью 0,53 можно утверждать, что в течении 20 лет для 10 телевизоров понадобится от 40 до 60 кинескопов.

Замечание. Следует отметить, что нормальное распределение получается из биномиального распределения и распределения Пуассона при некоторых условиях на n и p.

Пусть случайная величина X подчиняется биномиальному закону с параметрами n и p, тогда можно показать, что при достаточно большом n, если p и q=1-p не очень малы, распределение X стремится к нормальному распределению случайной величины . С увеличением n аппроксимация биномиального распределения нормальным улучшается. Этот результат является одной из форм центральной предельной теоремы. Соответствующая нормальная функция распределения будет хорошим приближением к биномиальной, если nр и n(1-р) больше 5.

Распределение Пуассона может быть получено из биномиального. Поэтому если случайная величина X подчиняется распределению Пуассона с параметром , то при n→∞ распределение X будет стремиться к нормальному распределению переменной .

Пример 5.3. Известно, что в среднем 3% электрических лампочек, выпускаемых заводом, бракованные. Найти вероятность того, что из 30 обследуемых лампочек забракованы будут 2. Эту вероятность вычислить с помощью биномиального распределения, его аппроксимацией распределением Пуассона и нормальным распределением.

Р е ш е н и е. Так как р=0,03; q=0,97; n=30; m=2, то:

;

аппроксимация распределения Пуассона:

,

где ;

аппроксимация нормальным распределением: как уже было сказано, биномиальное распределение хорошо аппроксимируется нормальным распределением, имеющим стандартизованную переменную . Итак, и

Найдем стандартизованные значения z: , . Поэтому

В нашем примере =0,9, поэтому нормальная аппроксимация не совсем удачна.

Вопросы для самопроверки

1. Какая случайная величина называется центрированной случайной величиной?

2. Чем отличается теорема Линдеберга-Леви от теоремы Ляпунова?

3. В чем смысл ограничений в теореме Ляпунова?

4. Если случайная величина подчиняется биномиальному закону (закону Пуассона), то при достаточно большом , распределение стремится к нормальному закону какой величины?