5.2. Неравенство чебышева

Чтобы доказать теоремы, относящиеся к закону больших чисел, докажем вначале одно весьма общее неравенство неравенство Чебышева.

Рассмотрим случайную величину X с математическим ожиданием М(Х) и дисперсией D(X). Тогда справедлива теорема, приведенная ниже.

Теорема 5.1. Вероятность того, что величина X отклоняется от своего математического ожидания не меньше любого положительного числа , ограничена сверху величиной , т.е. .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть X, дискретная случайная величина, задана рядом распределения:

xi	x1	x2	…	xn	…
pi	p1	p2	…	pn	…

Пусть задано некоторое положительное >0. Вычислим вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , т.е. вычислим вероятность .

________________

Выражение - это сокращенное обозначение для вероятности

Ясно, что эта вероятность равна сумме вероятностей p_i для тех значений x_i , для которых отклонения от М(Х) не меньше :

(5.1)

С другой стороны, по формуле (2.5) дисперсия

(5.2)

Если в формуле (5.2) отбросить слагаемые, для которых , то сумма справа уменьшится, так как все члены суммы неотрицательны. Следовательно,

(5.3)

________________

Выражение - это сокращенное обозначение для вероятности

Выразим в формуле (5.3) через ². Тогда сумма уменьшится:

(5.4)

Но сумма, стоящая в правой части неравенства (5.4) – это вероятность . Тогда из формулы (5.4) следует или , что и требовалось доказать.

Если X – непрерывная случайная величина, то знаки суммы следует заменить интегралами.

Заметим, что неравенство Чебышева иногда записывают в виде

.

Пример 5.1. Дана случайная величина X с математическим ожиданием М(Х) и дисперсией σ²(Х). Оценить сверху вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на 3σ(X).

Решение. Используя неравенство Чебышева, пологая = 3σ:

.

Следовательно, вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания выйдет за пределы трех средних квадратических отклонений, не может быть больше .

Если воспользоваться правилом трех сигм, то эта же вероятность равна 0,0027. Таким образом, оценка, полученная с помощью неравенства Чебышева, не точная. Важность этого неравенства заключается в его универсальности, и поэтому его используют в основном для доказательства других теорем.

Более точную оценку дает неравенство Колмогорова. Сформулируем его без доказательства.

Теорема 5.2. Пусть X₁,X₂,…,X_n - взаимно независимые случайные величины с математическими ожиданиями , и конечными дисперсиями . Тогда для >0 вероятность того, что одновременно выполняется n неравенств , не меньше чем .

При n=1 эта теорема сводится к неравенству Чебышева.

Вопросы для самопроверки

1. Вероятность какого неравенства оценивается в неравенстве Чебышева?

2. Как оценить вероятность неравенства ?

3. В чем заключается важность неравенства Чебышева?

4. Что уточняет неравенство Колмогорова?