3. Задание на курсовую работу
Провести моделирование цифровой фильтрации заданных сигналов при помощи фильтров – низких частот, высоких частот, полосового и гребенчатого режекторного – согласно варианту на основании следующих исходных данных:
Варианты 1- 5
№ п/п |
Параметры сигналов и их дискретизации; параметры фильтров |
Вариант |
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
1 |
Частота полезного гармонического сигнала, Гц |
800 |
850 |
900 |
1100 |
1200 |
2 |
Частота первой гармонической помехи, Гц |
1452 |
1504 |
1607 |
1808 |
1751 |
3 |
Частота второй гармонической помехи, Гц |
4320 |
2091 |
2415 |
3622 |
2618 |
4 |
Амплитуда полезного сигнала, В |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
5 |
Амплитуда первой помехи, В |
0,8 |
0,9 |
0,5 |
0,7 |
0,3 |
6 |
Амплитуда второй помехи, В |
0,5 |
0,8 |
0,8 |
0,4 |
1,1 |
7 |
Амплитуда белого шума, В |
0,3 |
0,25 |
0,2 |
0,15 |
0,15 |
8 |
Частота амплитудной модуляции, Гц |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
9 |
Частота частотной модуляции, Гц |
45 |
40 |
35 |
30 |
25 |
10 |
Объем выборки дискретного сигнала |
1024
|
1024
|
1024
|
1024
|
1024
|
11 |
Число спектральных линий |
512 |
512 |
512 |
512 |
512 |
12 |
Интервал времени, в течение которого производится дискретизация входного сигнала, с |
0,05 |
0,06 |
0,08 |
0,12 |
0,14 |
13 |
Точность расчетов, знаков после запятой |
8 |
6 |
8 |
4 |
4 |
14 |
Полоса пропускания полосового фильтра, Гц |
400-1600 |
500-1500 |
700-1600 |
600-2000 |
400-1400 |
15 |
Граничная частота ФВЧ, Гц |
700 |
800 |
1000 |
4000 |
900 |
16 |
Граничная частота ФНЧ, Гц |
2000 |
1000 |
1050 |
2000 |
1800 |
17 |
Основная частота гребенчатого режекторного фильтра, Гц |
1500 |
410 |
800 |
1800 |
1190 |
18 |
Ширина полосы режекции, Гц |
100 |
90 |
80 |
100 |
60 |
4. Основы спектрального анализа дискретных сигналов
Спектральный
анализ дискретных сигналов предназначен
для исследования частотного состава
сложного сигнала при условии, что такой
сигнал может считаться периодическим
и может быть представлен в виде суммы
гармонических сигналов. Исходный для
спектрального анализа сигнал должен
быть получен в виде числового ряда,
содержащего количество чисел
,
где
– целое число. Такой числовой ряд
получают на выходе аналого-цифрового
преобразователя, который с постоянной
частотой дискретизации
преобразует амплитудное значение
входного сигнала в двоичный цифровой
код. Частота дискретизации
,
согласно теореме Котельникова, должна
быть минимум в два раза больше, чем
максимальная частота спектра аналогового
сигнала, подлежащего оцифровке:
.
Длина
числового ряда данных – объем выборки
,
используемая для получения спектра
частот исходного сигнала, определяет
предельное число спектральных линий,
получаемых при помощи быстрого дискретного
преобразования Фурье. Максимальное
число спектральных линий
.
Возможно выбрать
,
где
– целое число,
.
Так, например, если длина выборки
,
то максимальное число спектральных
линий
.
Число
дискретов (объем выборки
)
вместе с периодом дискретизации сигнала
определяет частотное разрешение
спектра. Частотное разрешение спектра
показывает расстояние (в герцах) между
двумя соседними спектральными линиями.
Например, при
Гц
получим период дискретизации
с.
Частота
-й
спектральной линии
,
.
Частотное разрешение спектра сигнала
Гц.
Таким образом, если требуется улучшить частотное разрешение спектра при неизменной частоте дискретизации входного сигнала , необходимо увеличить объем выборки .
По графику полученного при помощи быстрого дискретного преобразования Фурье частотного спектра исследуемого сигнала можно визуально определить наличие частотных составляющих периодических помех и «белого шума». Далее путем анализа спектральной плотности помех можно выбрать цифровой фильтр с необходимой передаточной функцией для выделения на фоне шумов и помех полезного сигнала с минимальными его искажениями.
Алгоритм прямого дискретного преобразования Фурье числового ряда Х(j), j = 1…N:
- действительная часть спектра
;
- мнимая часть спектра
;
- модуль спектральной плотности
.
Частоты,
соответствующие значениям спектра
,
.
После
получения спектрограммы (графика
зависимости спектральной плотности от
частоты) проводится расчет критического
уровня, выше которого спектральная
плотность значима. Например, для размера
выборки
и величины ошибки
(достоверность
)
порог обнаружения сигнала по критерию
Стьюдента составляет
.
Для числового ряда Х(j),
j
= 1…N
рассчитывается дисперсия (при нулевом
математическом ожидании):
.
Критический уровень
.
Алгоритм обратного дискретного преобразования Фурье:
,
где
соответствующие значениям Y(i)
моменты времени
,
а частоты
.
5. Корреляционный анализ дискретных сигналов
Корреляционный анализ может быть применен для проверки наличия полезного сигнала на фоне присутствующих шумов и помех, а также для проверки эффективности работы цифровых фильтров. В первом случае рассчитывается нормированная корреляционная функция между фрагментом полезного сигнала и числовым рядом дискретизированного входного зашумленного сигнала. По графику корреляционной функции визуально обнаруживают присутствие искомого сигнала в зашумленном входном сигнале.
Во втором случае, с целью проверки эффективности фильтрации, сначала рассчитывается корреляционная функция полезного эталонного сигнала, представленного числовым рядом, и отфильтрованного сигнала. После чего путем применения прямого дискретного преобразования Фурье к корреляционной функции получают коррелограмму. На полученном графике строят линию критического уровня с учетом ошибки фильтрации с использованием критерия Стьюдента. Эффективность фильтрации определяют визуально: выше критического уровня должны находиться только составляющие спектральной плотности полезного сигнала.
Для большей наглядности и объективности рассчитывается выборочный коэффициент корреляции между числовыми рядами эталонного (исходного полезного) и отфильтрованного сигналов. Коэффициент корреляции может принимать значения в интервале –1…1. Отрицательные значения говорят о том, что эталонный и отфильтрованный сигналы коррелируют в противофазе, т.е. при инверсии отфильтрованного сигнала. В случае если цифровой фильтр обладает хорошей эффективностью фильтрации от помех и шумов, коэффициент корреляции принимает значения, близкие к 1 или –1. Качество разных цифровых фильтров применительно к конкретному сигналу может быть определено путем сравнения рассчитанных коэффициентов корреляции.
Расчет корреляционной функции дискретных сигналов производится следующим образом. Для дискретных сигналов Х(i) и Y(i), i = 1…N выбирается фрагмент массива Y(i), i = 1…N/2 и рассчитывается корреляционная функция
,
где – величина сдвига в дискретах.
Коррелограмму или спектр корреляционной функции получают путем применения прямого дискретного преобразования Фурье к корреляционной функции:
- действительная часть спектра
;
- мнимая часть спектра
;
- модуль спектральной плотности корреляционной функции
Частоты, соответствующие значениям спектра ,
,
где
– период дискретизации входного сигнала.
Расчет коэффициента корреляции между дискретными сигналами (числовыми рядами) Х(i) и Y(i), i = 1…N производится следующим образом.
Средние значения (математические ожидания) для числовых рядов Х(i) и Y(i):
;
.
Дисперсии
;
.
Второй смешанный центральный момент
.
Выборочный коэффициент корреляции
.
6. Сведения о программировании в системе инженерных и научных расчетов MATLAB
MATLAB – среда для математических вычислений, разработки алгоритмов, визуализации и анализа данных.
Операторы
В среде MATLAB используются операторы +, -, *, /, =, ^ (возведение в степень).
Переменные
Переменные объявляются следующим образом:
N = 1024;
Z = 28.2;
Имя переменной может содержать только символы A...Z, a...z, 0...9 и _, и не должно начинаться с цифры или подчеркивания. Точка с запятой в конце строки блокирует вывод значения переменной в командное окно.
Комментарий
Для задания комментария используется символ %. Например:
% Комментарий
Функции
clear all - очищает рабочее пространство – удаляет все переменные раннее запущенной программы.
сlc -очищает командное окно.
Функция digits(n) указывает количество значимых цифр после запятой для расчетов. По умолчанию – 32.
Функции cos(X) и sin(Y) возвращают косинус и синус угла X, заданного в радианах.
Функция sqrt(X) возвращает квадратный корень числа X.
Функция fix(A) возвращает число A, округленное в меньшую сторону. Например, fix(5.7) возвращает число 5.
Функция rand(n) возвращает массив размера n x n, заполненный случайными числами в диапазоне от 0 до 1. Например, rand(1) возвращает одно случайное число в диапазоне от 0 до 1.
Циклы
Цикл по переменной i от 1 до N реализуется следующим образом:
for i = 1:N,
…
end
Пример цикла по переменной i и вложенного в него цикла по переменной j:
for i = 1:N1,
for j = 1:N2,
…
end
end