7.1.2. Ранговая корреляция.

7.1.2.1. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Пусть выборка объема n содержит независимые объекты, которые обладают двумя качественными признаками: А и В. Под качественным подразумевают признак, который невозможно измерить точно, но он позволяет сравнивать объекты между собой и, следовательно, расположить их в порядке убывания или возрастания качества. Для определенности условимся располагать объекты в порядке ухудшения качества.

Расположим сначала объекты в порядке ухудшения качества по признаку А. Припишем объекту, стоящему на i-ом месте, число – ранг x_i, равный порядковому номеру объекта: x_i=i. Затем расположим объекты в порядке убывания качества по признаку В и припишем каждому из них ранг (порядковый номер) y_i, причем (для удобства сравнения рангов) индекс i при y по-прежнему равен порядковому номеру объекта по признаку А.

В итоге получим две последовательности рангов:

по признаку А: x₁ x₂ … x_n,

по признаку В: y₁ y₂ … y_n.

Для оценки степени связи признаков А и В служит, в частности, коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена находится по формуле

,

где , n – объем выборки.

Абсолютная величина коэффициента ранговой корреляции Спирмена не превышает единицы: .

Для обоснованного суждения о наличии связи между качественными признаками следует проверить, значим ли выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

7.1.2.2. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена

Пусть генеральная совокупность состоит из объектов, которые обладают двумя качественными признаками: А и В. Из этой совокупности извлечена выборка объема n и по ней найден выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена . Требуется проверить нулевую гипотезу Н₀: _г=0 о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Если нулевая гипотеза принимается, то это означает, что между признаками А и В нет значимой ранговой корреляционной связи (выборочный коэффициент не значим); в противном случае между признаками имеется значимая корреляционная связь (выборочный коэффициент значим).

Для того, чтобы при уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции _г Спирмена при конкурирующей гипотезе Н₁: _г0, надо вычислить критическую точку

,

где n – объем выборки; – выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена; – критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 7) с уровнем значимости  и числом степеней свободы k=n–2.

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками не значима.

Если – нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

7.2. Элементы дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ – статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов.

Мы будем рассматривать однофакторный дисперсионный анализ.

На практике дисперсионный анализ применяют, чтобы установить, оказывает ли на изучаемую величину Х существенное влияние некоторый качественный фактор F, который имеет m уровней F₁, F₁, …, F_m. Число испытаний одинаково и равно n.

Основная идея дисперсионного анализа состоит в сравнении «факторной дисперсии», порождаемой воздействием фактора, и «остаточной дисперсии», обусловленной случайными причинами. Если различие между этими дисперсиями значимо, то фактор оказывает существенное влияние на Х; в этом случае средние наблюдаемых значений на каждом уровне (групповые средние) различаются значимо. Другими словами, проверяется нулевая гипотеза Н₀ о равенстве математических ожиданий.

Для этого находятся:

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат
Межгрупповая (факторная)сумма квадратов отклонений Внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений Общая (полная) сумма квадратов отклонений		k1=m–1 k2=m(n –1) k=mn–1

В случае однофакторного комплекса условий средние квадраты и являются несмещенными выборочными оценками одной и той же дисперсии ².

Таким образом, проверка нулевой гипотезы Н₀ сводится к проверке существенности различия и .

Гипотеза Н₀ отвергается, если фактически вычисленное значение статистики больше критического F_{, k1, k2}, определенного на уровне значимости  по таблице критических точек распределения F Фишера-Снедекора (приложение 8), и принимается, если F F_{, k1, k2}.

Пример 7.2.1. Произведено 3 испытания на каждом из четырех уровней. Результаты испытаний приведены в таблице:

Номер испытания	Уровни фактора Fj
i Fj	F1	F2	F3	F4
1 2 3	1 5 6	3 4 1	6 5 2	2 2 4

Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

○ В нашем случае имеем m=3, n=4. Заполним таблицу, для этого найдем:

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат
Межгрупповая (факторная)сумма квадратов отклонений Внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений Общая (полная) сумма квадратов отклонений		k1=2 k2=9 k=11

Тогда .

По таблице критических точек распределения F Фишера-Снедекора (Приложение 8) F_{0,01, 2, 9}=8,02.

Поскольку F_{0,01, 2, 9}>F, то H₀ принимаем. Следовательно, влияние фактора незначительно.●

1 В таком случае говорят, что сходится к Θ по вероятности.