5.2.4. Некоторые законы распределения случайных величин

5.2.4.1. Биномиальный закон распределения.

Рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью р. Обозначим через Х случайную величину, равную числу появлений события А в n испытаниях.

Очевидно, что событие А может вообще не наступить, наступить один раз, два раза и т.д. и, наконец, наступить n раз. Следовательно, возможными значениями величины Х будут числа 0, 1, 2, …, n–1, n.

По формуле Бернулли можно найти вероятности этих значений:

,

,

…………………

.

Запишем полученные данные в виде таблицы распределения:

Х	0	1	…	m	…	n
P(X=xi)			…		…

Построенный закон распределения дискретной случайной величины Х называется биномиальным законом распределения.

Определение 5.2.12. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами п и р, если она принимает значения 0, 1, 2, …, т с вероятностями

(5.2.25)

,

где 0<p<1, q=1–p.

Т.е. биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х=m наступлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.

Т

(5.2.26)

еорема 5.2.2. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону,

М(Х)=np,

д

(5.2.27)

исперсия

D(X)=npq

а

(5.2.28)

ее среднее квадратическое отклонение

.

Пример 5.2.16. Случайная величина Х определена как число выпавших гербов в результате 100 бросаний монеты. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение Х.

○ Вероятность появления герба при каждом бросании монеты . Следовательно, вероятность непоявления герба . Случайная величина Х имеет биномиальное распределение при n=100 и . Поэтому ,

,

. ●

Пример 5.2.17. Допустим, что для рекламного агента вероятность увлечь прохожего данной продукцией составляет 0,4 при каждом разговоре с потенциальным покупателем. Каково ожидаемое число прохожих, которые поддадутся рекламе из 20?

○ Это пример биномиального распределения при n=20 и р=0,4. Ожидаемое число есть М(Х)=пр=20·0,4=8.●

Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания и др.

5.2.4.2. Закон распределения Пуассона

Определение 5.2.13. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с параметром >0, если она принимает значения 0, 1, 2, …, т, … (бесконечное множество таких значений) с вероятностями

(5.2.29)

,

Ряд распределения Пуассона имеет вид

Х	0	1	2	…	m	…
P(X=xi)				…		…

Теорема 5.2.3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру  этого закона, т.е.

М

(5.2.30)

(Х)= ,

D

(5.2.31)

(Х)=.

При достаточно больших п (вообще при п) и малых значениях р (р0) при условии, что произведение пр – постоянная величина (пр=const), закон распределения Пуассона является хорошим приближением (предельным случаем) биномиального закона. Так как при этом вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений. Наряду с «предельным» случаем биномиального распределения закон Пуассона может возникнуть и в ряде других ситуаций. Так для простейшего потока событий число событий, попадающих на произвольный отрезок времени есть случайная величина, имеющая пуассоновское распределение. По закону Пуассона распределены, например, число рождений четвертней, число сбоев на автоматической линии и др.

Отметим, что если случайная величина представляет собой сумму двух независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона, то она также распределена по закону Пуассона.

Пример 5.2.18. Прибор состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. Необходимо: а) составить закон распределения отказавших за время t элементов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

○а) Случайная величина Х – число отказавших за время t элементов распределена по закону Пуассона, т.е. , который в данном случае можно рассматривать как «предельный» случай биномиального распределения, т.к. п=1000 – достаточно велико, а р=0,002 – достаточно мало. Найдем . =пр=1000·0,002=2. Таким образом,

, т=0, 1, 2, … .

б) М(Х)=D(Х)==2.●