Свойства дисперсии случайной величины.

1. Дисперсия дискретной случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:

D

(5.2.4)

(X)=M(X²)–M²(X).

2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю.

D(C)=0.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX)=C²D(X).

4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин X и Y равна сумме дисперсий этих величин:

D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Методом математической индукции это свойство распространяется на случай любого конечного числа слагаемых.

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий:

D(X–Y)=D(X)+D(Y).

Пример 5.2.5. Дисперсия случайной величины Х равна 3. Найти дисперсию следующих величин:

а) –3Х; б) 4Х+3.

○Согласно свойствам 2, 3 и 4 дисперсии имеем:

а) D(–3X)=9D(X)=9·3=27;

б) D(4X+3)=D(4X)+D(3)=16D(X)+0=16·3=48.●

5.2.2.4. Среднее квадратическое отклонение

Определение 5.2.5. Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:

(5.2.5)

.

Введение среднего квадратического отклонения объясняется тем, что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины. Например, если возможные значения некоторой случайной величины измеряются в метрах, то ее дисперсия измеряется в квадратных метрах. В тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина, и используется среднее квадратическое отклонение.

Пример 5.2.6. Случайная величина Х – число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определить σ(Х).

○Имеем:

Х	1	2	3	4	5	6
P(X=xi)

,

.●

5.2.2.5. Понятие о моментах распределения

Определение 5.2.6. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины Х^k, где k – натуральное число:

ν_k=М(Х^k).

Следовательно, если Х имеет распределение:

Х	x1	x2	…	хn
P(X=xi)	p1	p2	…	pn

то .

М

(5.2.6)

атематическое ожидание и дисперсию можно выразить через начальные моменты порядков 1 и 2:

М(Х)= ν₁

D

(5.2.7)

(X)=M(X²)–M²(X)= .

Определение 5.2.7. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины (Х–М(Х))^k:



(5.2.8)

_k=M[(Х–М(Х))^k].

Причем



(5.2.9)

₁=M[Х–М(Х)]=0,



(5.2.10)

₂=M[(Х–М(Х))²]=D(Х).

Т.о.



(5.2.11)

₂= .

Отметим также, что

₃= ,

₄= и т.д.

Пример 5.2.7. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	1	3
P(X=xi)	0,4	0,6

Найти начальные моменты первого, второго порядков и центральный момент второго порядка.

○Имеем:

ν₁=М(Х)=1·0,4+3·0,6=2,2,

ν₂=М(Х²)=1·0,4+9·0,6=5,8,

₂= =5,8–2,2²=5,8–4,84=0,96.●