Пример 5
Пусть в постановке задачи необходимо
найти реакцию в виде тока
в рассматриваемой цепи.
Рис.1.39
В соответствии с данным методом
необходимо часть цепи, которая содержит
независимые источники электрической
энергии, а также другие ветви по отношению
к ветви, реакцию на которой нужно найти,
представить как активный двухполюсник
(рис. 1.39, б). Далее данный активный
двухполюсник можно заменить эквивалентным
генератором напряжения (теорема Тевенина)
с задающим напряжение
и внутренним сопротивлением
(рис. 1.39, в). Напряжение
определяется как напряжение на разомкнутых
зажимах
активного двухполюсника (рис. 1.39, г), а
внутреннее сопротивление определяется
со стороны зажимов
при погашенных независимых источниках
(рис. 1.39, д). Гашение источника ЭДС
эквивалентно короткому замыканию
участка электрической цепи между его
зажимами, а гашение источника тока –
разрыву.
Искомый ток при известных величинах и можно отыскать, применяя закон Ома для участка цепи в виде последовательного соединения резистивных элементов и (рис. 1.39, в), в виде:
. (1.44)
Итак, определим задающее напряжение эквивалентного генератора, проанализировав работу цепи (рис. 1.39, г). Напряжение на зажимах складывается из напряжений на резистивных элементах и .
Так как рассматриваемая цепь есть последовательное соединение резистивных элементов, то ток в такой цепи определяется в соответствии с выражением:
.
Тогда задающее напряжение эквивалентного генератора можно определить как
. (1.45)
Далее в соответствии с рис. 1.39, д определим
эквивалентное сопротивление
.
Сопротивления
и
соединены последовательно и могут быть
заменены на общее сопротивление
.
Схема замещения данного участка цепи
после эквивалентной замены имеет вид,
приведенный на рис. 1.40.
Рис. 1.40
Цепь, приведенная на данном рисунке, представлена параллельным соединением двух ветвей, непосредственно связывающих пару зажимов . Тогда эквивалентное сопротивление данного участка цепи определено выражением вида:
. (1.46)
Подставляя полученные выражения (1.45) и (1.46) в (1.44) получаем искомое решение:
. (1.47)
Аналогично рассмотренному примеру, в
котором нашла применение теорема
Тевенина, активный двухполюсник может
быть заменен эквивалентным генератором
тока (теорема Нортона) (рис. 1.41) с той
лишь разницей, что задающий ток
эквивалентного генератора тока
определяется как ток, протекающий через
замкнутые накоротко зажимы
анализируемой цепи. Как следует из рис.
1.41, г, сопротивления
и
оказываются шунтированными коротко
замкнутым отрезком провода. Тогда
задающий ток эквивалентного генератора
тока будут определен в виде:
. (1.48)
Рис.1.41
Что касается внутреннего сопротивления рассматриваемого генератора, то оно определяется также как и в предыдущем случае и равно:
. (1.49)
Проанализируем работу цепи, изображенной на рис. 1.41, в для отыскания искомой реакции. Составим систему уравнений электрического равновесия по первому и второму законам Кирхгофа.
Применим во втором уравнении системы закон Ома и решим ее относительно неизвестного тока
;
;
. (1.50)
Подставляя выражения (1.48) и (1.49) в выражение (1.50) получаем окончательное решение в виде:
.
(1.51)
Сравнив полученные выражения (1.47) и (1.51), можно сделать вывод, что применение теорем Тевенина и Нортона для анализа линейных цепей дают один и тот же результат.
Задания для самостоятельной проработки
Для заданных резистивных электрических цепей и указанных номиналов элементов и задающих токов или ЭДС источников определить численную величину указанной на схеме цепи реакции (тока или напряжения), используя метод простого сворачивания разветвленных цепей.
Задача 1.2.1
.
Задача 1.2.2
.
Задача 1.2.3
.
Задача 1.2.4
.
Задача 1.2.5
Задача
1.2.6
.
Задача 1.2.7
Для заданных резистивных электрических цепей и указанных номиналов элементов и задающих токов или ЭДС источников определить численную величину указанной на схеме цепи реакции (тока или напряжения), используя метод эквивалентного преобразования источников электрической энергии.
Задача 1.2.8
.
Задача 1.2.9
.
Задача 1.2.10
Задача 1.2.11
.
Задача 1.2.12
.
Задача 1.2.13
.
Задача 1.2.14
Задача
1.2.15
.
Задача 1.2.16
Для заданной резистивной электрической
цепи с известными номиналами элементов
и задающей величиной напряжения источника
ЭДС определить численную величину тока
,
указанного на схеме цепи, используя
метод эквивалентного преобразования
треугольника сопротивлений
в звезду сопротивлений.
Задача 1.2.17
Для заданной резистивной электрической
цепи с известными номиналами элементов
и задающей величиной тока источника
тока определить численную величину
напряжения
,
указанного на схеме цепи, используя
метод эквивалентного преобразования
звезды сопротивлений
в треугольник сопротивлений.
Задача 1.2.18
Для заданной резистивной электрической
цепи с известными номиналами элементов
и задающей величиной напряжения источника
ЭДС определить численную величину тока
,
указанного на схеме цепи, используя
метод эквивалентного преобразования
треугольника сопротивлений
в звезду сопротивлений.
Задача
1.2.19
Для заданной резистивной электрической
цепи с известными номиналами элементов
и задающей величиной тока источника
тока определить численную величину
напряжения
,
указанного на схеме цепи, используя
метод эквивалентного преобразования
звезды сопротивлений
в треугольник сопротивлений.
Задача 1.2.20
Для заданной резистивной электрической
цепи с известными номиналами элементов
и задающей величиной напряжения источника
ЭДС определить численную величину тока
,
указанного на схеме цепи, используя
метод эквивалентного преобразования
треугольника сопротивлений
в звезду сопротивлений.
Задача 1.2.21
Для заданной резистивной электрической
цепи с известными номиналами элементов
и задающей величиной тока источника
тока определить численную величину
тока
,
указанного на схеме цепи, используя
метод эквивалентного преобразования
звезды сопротивлений
в треугольник сопротивлений.
.
Задача 1.2.22
Для заданной резистивной электрической
цепи с известными номиналами элементов
и задающей величиной напряжения источника
ЭДС определить численную величину
напряжения
,
указанного на схеме цепи, используя
метод эквивалентного преобразования
треугольника сопротивлений
в звезду сопротивлений.
.
Задача 1.2.23
Для заданной резистивной электрической
цепи с известными номиналами элементов
и задающей величиной тока источника
тока определить численную величину
напряжения
,
указанного на схеме цепи, используя
метод эквивалентного преобразования
треугольника сопротивлений
в звезду сопротивлений.
Задача 1.2.24
Для заданной резистивной электрической цепи с известными номиналами элементов и задающей величиной тока источника тока определить численную величину тока , указанного на схеме цепи, используя метод переноса источника тока.
.
Задача 1.2.25
Для заданной резистивной электрической цепи с известными номиналами элементов и задающей величиной тока источника тока определить численную величину напряжения , указанного на схеме цепи, используя метод переноса источника тока.
Задача 1.2.26
Для заданной резистивной электрической
цепи с известными номиналами элементов
и задающей величиной напряжения источника
ЭДС определить численную величину тока
,
указанного на схеме цепи, используя
метод переноса источника ЭДС.
.
Задача 1.2.27
Для заданной резистивной электрической
цепи с известными номиналами элементов
и задающей величиной напряжения источника
ЭДС определить численную величину
напряжения
,
указанного на схеме цепи, используя
метод переноса источника ЭДС.
.
Задача 1.2.28
Для заданной резистивной электрической
цепи с известными номиналами элементов
и задающей величиной напряжения источника
ЭДС определить численную величину тока
,
указанного на схеме цепи, используя
метод переноса источника ЭДС.
.
Задача 1.2.29
Для заданной резистивной электрической
цепи с известными номиналами элементов
и задающей величиной напряжения источника
ЭДС определить численную величину тока
,
указанного на схеме цепи, используя
теорему Тевенина.
.
Задача 1.2.30
Для заданной резистивной электрической цепи с известными номиналами элементов и задающей величиной тока источника тока определить численную величину напряжения , указанного на схеме цепи, используя теорему Тевенина.
.
Задача 1.2.31
Для заданной резистивной электрической цепи с известными номиналами элементов и задающей величиной напряжения источника ЭДС определить численную величину напряжения , указанного на схеме цепи, используя теорему Тевенина.
.
Задача 1.2.32
Для заданной резистивной электрической цепи с известными номиналами элементов и задающей величиной тока источника тока определить численную величину тока , указанного на схеме цепи, используя теорему Тевенина.
.
Задача 1.2.33
Для заданной резистивной электрической цепи с известными номиналами элементов и задающей величиной напряжения источника ЭДС определить численную величину напряжения , указанного на схеме цепи, используя теорему Тевенина.
Задача
1.2.34
Для заданной резистивной электрической цепи с известными номиналами элементов и задающей величиной тока источника тока определить численную величину напряжения , указанного на схеме цепи, используя теорему Нортона.
.
Задача 1.2.35
Для заданной резистивной электрической цепи с известными номиналами элементов и задающей величиной тока источника ЭДС определить численную величину напряжения , указанного на схеме цепи, используя теорему Нортона.
.
Задача 1.2.36
Для заданной резистивной электрической цепи с известными номиналами элементов и задающей величиной тока источника тока определить численную величину напряжения , указанного на схеме цепи, используя теорему Нортона.
Задача
1.2.37
Для заданной резистивной электрической цепи с известными номиналами элементов и задающей величиной тока источника ЭДС определить численную величину тока , указанного на схеме цепи, используя теорему Нортона.
.
Задача 1.2.38
Для заданной резистивной электрической цепи с известными номиналами элементов и задающей величиной тока источника тока определить численную величину тока , указанного на схеме цепи, используя теорему Нортона.
Задача 1.2.39
Для заданной резистивной электрической
цепи с известными номиналами элементов
и задающей величиной тока источника
тока определить численную величину
напряжения
,
указанного на схеме цепи, используя
теорему Нортона.
1.3 Анализ работы линейных электрических цепей при воздействии нескольких источников электрической энергии
Анализ работы линейной электрической цепи при одновременном воздействии на нее нескольких источников электрической энергии основан на применении принципа суперпозиции, заключающегося в том, что реакция цепи на сумму воздействий есть сумма реакций цепи на каждое воздействие в отдельности. В данном случае используется метод наложения, согласно которому для отыскания искомой реакции необходимо решить ряд частных задач, заключающихся в поочередном гашении всех источников электрической энергии, кроме одного и отыскании частной реакции на действие оставшегося источника энергии. После отыскания всех частных реакций общая реакция цепи определяется как алгебраическая сумма найденных частных решений1. Рассмотрим решение подобных задач на конкретном примере.
Пример
Для заданной резистивной цепи отыскать реакцию в виде напряжения на втором резистивном элементе цепи на два одновременно функционирующих источника энергии, используя метод наложения.
Рис. 1.42
Погасим источник тока. Тогда схема замещения цепи имеет вид, приведенный на рис. 1.43.
Рис. 1.43
Запишем уравнение электрического равновесия по второму закону Кирхгофа для рассматриваемого контура:
. (1.52)
Представим напряжения на резистивных элементах по закону Ома. Уравнение (1.52) приобретает вид:
. (1.53)
Откуда ток определим как
. (1.54)
Напряжение
определим по закону Ома в виде:
. (1.55)
Теперь погасим источник ЭДС и найдем реакцию цепи на действие источника тока. При этом схема замещения цепи имеет вид, приведенный на рис. 1.44.
Рис. 1.44
Составим систему уравнений электрического равновесия по первому и второму законам Кирхгофа для рассматриваемой цепи:
(1.56)
Выразим из второго уравнения системы
напряжение
:
. (1.57)
Определим ток
по закону Ома в виде:
. (1.58)
Тогда напряжение на третьем резистивном
элементе определено как
.
Подставим полученное выражение в
уравнение (1.57). Для напряжения
имеем следующее выражение:
. (1.59)
Теперь, используя закон Ома, выразим
ток
.
В результате получим выражение вида:
. (1.60)
Подставим формулы (1.58) и (1.60) в первое уравнение системы (1.56), в результате чего получаем уравнение:
. (1.61)
Разрешая данное уравнение относительно
неизвестного напряжения
,
получаем следующее решение:
. (1.62)
Сложим полученные частные решения
и
,
в результате общая реакция
определена
выражением:
. (1.63)
Задания для самостоятельной проработки
Для заданных резистивных электрических цепей и указанных номиналов элементов и задающих токов и/или ЭДС источников определить численную величину указанной на схеме цепи реакции (тока или напряжения), используя метод наложения.
Задача 1.3.1
.
Задача 1.3.2
.
Задача 1.3.3
.
Задача 1.3.4
.
1 Во избежание ошибок в суммировании частных реакций электрической цепи следует выбирать направления этих реакций в соответствии с выбранным направлением общей реакции в исходной схеме, в не зависимости от направления задающих токов и напряжений источников электрической энергии.