Пример 1

Применяя метод простого сворачивания определить входной ток для цепи, изображенной на рис. 1.18.

Рис. 1.18

Приведенная на рисунке цепь является разветвленной и содержит два узла и три ветви. Отыскание искомой реакции по первому и второму законам Кирхгофа с применением закона Ома потребовало бы составления и решения системы трех уравнений электрического равновесия. Однако следует отметить, что поскольку реакция цепи на задающее напряжение источника ЭДС рассматривается на входной паре зажимов, то достаточным является отыскание общего сопротивления данной цепи со стороны входных зажимов. Применяя закон Ома, можно определить искомую реакцию в соответствии с выражением:

.

Так как участок цепи в виде пары ветвей, связывающих узлы 1 и 2, является параллельным соединением данных ветвей, обладающих сопротивлениями и , то его можно заменить на эквивалентную ветвь с сопротивлением:

.

В свою очередь первая из ветвей представлена последовательным соединением двух резистивных элементов и , тогда в силу свойств последовательного соединения сопротивлением данной ветви задано выражением . Сопротивление второй ветви, содержащей один резистивный элемент, определено как . С учетом сделанных замечаний:

.

На рис. 1.19 приведена схема замещения рассматриваемой цепи на основе выполненного эквивалентного преобразования.

Рис. 1.19

Как следует из рис. 1.19, из исходной трехконтурной цепи получили эквивалентную одноконтурную цепь.

Применяя в свою очередь замену двух последовательно соединенных резистивных элементов и одним , приходим к схеме замещения цепи приведенной на рис. 1.20. Здесь:

.

Рис. 1.20

Окончательно для входного тока получаем выражение вида:

.

Следующий метод эквивалентного преобразования цепи заключается в эквивалентной замене реального источника тока (рис. 1.21,б) на реальный источник напряжения (рис. 1.21, а) и наоборот.

Рис. 1.21

Преобразование одного источника в другой будет эквивалентным, если выполняются следующие условия:

, (1.28)

где и - задающие напряжение (ЭДС) и ток генератора напряжения (ЭДС) и генератора тока; и - внутренние сопротивления генератора тока и генератора ЭДС.

Эквивалентную замену одного источника электрической энергии на другой целесообразно применять в том случае, если искомая реакция представляет собой ток или напряжение ветви, не присоединенной к выходным зажимам генератора тока (напряжения).

Пример 2

Применяя эквивалентную замену источников энергии определить реакцию в виде напряжения на третьем резистивном элементе цепи, изображенной на рис. 1.22. Исходными данными к расчету являются: .

Рис. 1.22

Произведем замену источника ЭДС на источник тока в соответствии с условиями (1.28). Схема замещения цепи приведена на рис. 1.23.

Рис. 1.23

Величина задающего тока равна и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора тока равно .

Теперь заменим параллельно соединенный участок цепи, состоящий из сопротивлений и эквивалентным сопротивлением . Тогда схема замещения цепи имеет вид, приведенный на рис. 1.24.

Рис. 1.24

Применим еще раз эквивалентную замену источник тока на источник ЭДС, в результате которой цепь имеет вид, изображенный на рис. 1.25.

Рис. 1.25

Величина задающей ЭДС нового эквивалентного источника напряжения равна .

Таким образом, в результате проведенных эквивалентных преобразований разветвленная цепь сведена к одноконтурной. Теперь, применяя второй закон Кирхгофа и закон Ома, определим ток в данной цепи и искомую реакцию .

. (1.29)

. (1.30)

В результате подстановки численных данных и произведенного расчета напряжение на третьем резистивном элементе составляет .

Некоторые электрические цепи не поддаются простому свертыванию. К таким цепям относят так называемые мостовые цепи.

Получим соотношения, связывающие сопротивления сторон треугольника резистивных элементов и сопротивления лучей звезды резистивных элементов, обеспечивающие эквивалентную замену данных участков цепи друг на друга (рис. 1.26, а, б).

Рис. 1.26

Обозначим все токи и напряжения, соответствующие треугольнику сопротивлений, верхним индексом , а соответствующие звезде сопротивлений – верхним индексом . По условию эквивалентной замены все токи и напряжения во внешней цепи должны остаться неизменными. Тогда будут справедливы следующие соотношения

.(1.31)

Запишем уравнение электрического равновесия по второму закону Кирхгофа для контура, образованного сторонами треугольника сопротивлений. Выберем направление обхода контура по часовой стрелке. Все напряжения на сопротивлениях совпадают с направлением обхода контура. Тогда:

.

С применением закона Ома приведем последнее уравнение к виду:

. (1.32)

Составим уравнения электрического равновесия по первому закону Кирхгофа для рассматриваемого треугольника сопротивлений относительно узлов 1 и 2:

(1.33)

Подставим выражения (1.33) в уравнение (1.32) и решим полученное уравнение относительно тока .

(1.34)

По закону Ома:

. (1.35)

С другой стороны для звезды сопротивлений:

. (1.36)

С учетом условий эквивалентной замены приравняем друг к другу выражения (1.35) и (1.36), откуда находим:

(1.37)

Для сопротивления второго луча звезды по аналогии можно получить выражение вида:

. (1.38)

Итак, получили систему уравнений вида:

(1.39)

Решая данную систему уравнений относительно сопротивлений , получаем следующий результат:

(1.40)