1.7. Минимизация с использованием карт Карно

1. В карте Карно группы единиц (для получения ДНФ) и группы нулей (для получения КНФ) необходимо обвести четырехугольными контурами. Внутри контура должны находится только одноименные значения функции. Этот процесс соответствует операции склеивания или нахождения импликант данной функции.

2. Количество клеток внутри контура должно быть целой степенью двойки (1, 2, 4, 8, 16...).

3. При проведении контуров крайние строки карты (верхние и нижние, левые и правые), а также угловые клетки, считаются соседними (для карт до 4-х переменных).

4. Каждый контур должен включать максимально возможное количество клеток. В этом случае он будет соответствовать простой импликанте.

5. Все единицы (нули) в карте (даже одиночные) должны быть охвачены контурами. Любая единица (нуль) может входить в контуры произвольное количество раз.

6. Множество контуров, покрывающих все 1 (0) функции образуют тупиковую ДНФ (КНФ). Целью минимизации является нахождение минимальной из множества тупиковых форм.

7. В элементарной конъюнкции (дизъюнкции), которая соответствует одному контуру, остаются только те переменные, значение которых не изменяется внутри обведенного контура. Переменные булевой функции входят в элементарную конъюнкцию (для значений функции 1) без инверсии, если их значение на соответствующих координатах равно 1 и с инверсией - если 0. Для значений булевой функции, равных 0, записываются элементарные дизъюнкции, куда переменные входят без инверсии, если их значение на соответствующих координатах равно 0 и с инверсией - если 1.

В методе минимизирующих карт Карно функция задается прямоугольной таблицей, в которой наборы значений переменных на каждой из сторон прямоугольника расположены в коде Грея. Нахождение простых импликант сводится к выделению максимальных по включению прямоугольников, состоящих из единиц. Из прямоугольников, соответствующих граням максимальной размерности, находим коды максимальных интервалов. Считается, что каждая клетка таблицы является соседней к клетке, примыкающей к противоположной стороне и расположенной на той же горизонтали или вертикали. Метод применим также и для не всюду определенных функций. В этом случае выделяются максимальные прямоугольники, содержащие хотя бы одну единицу и не содержащие нулей.

Пример 2. Таблица 3.12 представляет собой минимизирующую карту для функции с вектором значений Коды максимальных интервалов имеют вид (00-0), (000-), (--01), (-1-1), (110-). Сокращенная ДНФ имеет вид

Таблица 3.12 Таблица 3.13

Пример 3. Таблица 3.13 представляет собой минимизирующую карту для частичной функции f, зависящей от трех переменных. Сокращенная ДНФ имеет вид

К

Рис. 1 Пример Карты Карно

арта Карно может быть составлена для любого количества переменных, однако удобно работать при количестве переменных не более пяти. По сути Карта Карно — это таблица истинности составленная в 2-х мерном виде. Благодаря использованию кода Грея в ней верхняя строка является соседней с нижней, а правый столбец соседний с левым, т.о. вся Карта Карно сворачивается в фигуру тор (бублик). На пересечении строки и столбца проставляется соответствующее значение из таблицы истинности. После того как Карта заполнена, можно приступать к минимизации.

Если необходимо получить минимальную ДНФ, то в Карте рассматриваем только те клетки которые содержат единицы, если нужна КНФ, то рассматриваем те клетки которые содержат нули. Сама минимизация производится по следующим правилам (на примере ДНФ):

1. объединяем смежные клетки содержащие единицы в область, так чтобы одна область содержала 2ⁿ (n целое число = 0… ) клеток(помним про то что крайние строки и столбцы являются соседними между собой), в области не должно находится клеток содержащих нули;

2. область должна располагаться симметрично оси(ей) (оси располагаются через каждые четыре клетки);

3. не смежные области расположенные симметрично оси(ей) могут объединятся в одну;

4. область должна быть как можно больше, а количество областей как можно меньше;

5. области могут пересекаться;

6. возможно несколько вариантов накрытия.

Далее берём первую область и смотрим какие переменные не меняются в пределах этой области, выписываем конъюнкцию этих переменных, если неменяющаяся переменная нулевая, проставляем над ней инверсию. Берём следующую область, выполняем тоже самое что и для первой, и т. д. для всех областей. Конъюнкции областей объединяем дизъюнкцией.