1.4. Построение сокращенной днф с помощью кнф

Пусть f(x₁, … , x_n) есть некоторая функция алгебры логики. Построим для f некоторую КНФ. Осуществим далее следующие преобразования.

1. В КНФ раскроем скобки и удалим дублирующие члены, затем удалим дизъюнктивные слагаемые, содержащие одновременно переменную и ее отрицание. В результате получим дизъюнкцию конъюнкций, каждая из которых содержит только по одному элементу из каждой скобки КНФ.

2. В полученном выражении удалим нулевые дизъюнктивные слагаемые.

3. В полученном выражении проведем все поглощения, а затем удалим дублирующие члены.

В результате проведенных операций получим сокращенную ДНФ функции f. Иногда такие преобразования называют методом Нельсона.

Пример 3. Построим сокращенную ДНФ этим способом для функции

f = (1111010010101111) из примера 1 :

Сокращенная ДНФ для функции

что, естественно, совпадает с результатом примера 1.

Пример 4. Построить сокращенную ДНФ по заданной КНФ

После раскрытия скобок имеем:

После второго этапа получаем сокращенную ДНФ:

Тупиковой ДНФ ( ТДНФ) функции f называется такая ДНФ ее простых импликант, из которых нельзя выбросить ни одного импликанта, не изменив функции f.

Теорема. Всякая минимальная ДНФ некоторой функции является ее тупиковой ДНФ.

Доказательство. В МДНФ входят только простые импликанты, иначе некоторые множители в непростом имликанте можно удалить в противоречие с минимальностью исходной ДНФ. В МДНФ нет лишних импликант, иначе исходная ДНФ не является минимальной.

Вывод. Для получения МДНФ функции f необходимо построить все ТДНФ функции f и выбрать из них те, которые содержат минимальное число букв.

1.5.Построение всех тупиковых днф.

Пусть f(x₁, …, x_n) есть функция алгебры логики.

1. Построим СДНФ функции f, и пусть P₁, P₂, …,P_n есть ее коституенты единицы).

2. Построим сокращенную ДНФ функции, f и пусть K₁, K₂, …, K_m – ее простые импликанты.

3. Построим матрицу покрытий простых импликант функции f ее конституентами единицы (табл. 3.4), полагая, что

+, если каждый множитель в K_i является множителем в P_j; (P_j есть a_ij= часть для K_i );

 в противном случае.

Таблица 3.4

1.5.1.1.1N	P1 P2 … Pj …Pn
K1 K2 Ki Km	a11 a12 … a1j …a1n a21 a22 … a2j … a2n ai1 ai2 … aij … ain am1 am2… amj … amn

4. Для каждого столбца j ( 1  j  n ) найдем множество E_j всех тех номеров I строк, для которых a_ij = 1. Пусть Составим выражение Назовем его решеточным выражением. Это выражение можно рассматривать как формулу, построенную в свободной дистрибутивной решетке с образующими 1, 2, …,m и с операциями & и  .

5. В выражении A раскроем скобки , приведя выражение A к равносильному выражению где перечислены все конъюнкции элементы которой взяты из скобок 1,2,…,n соответственно в выражении A.

6. В выражении B проведем все операции удаления дублирующих членов и все операции поглощения. В результате получим дизъюнкцию элементарных конъюнкций C.

Утверждение. Каждая элементарная конъюнкция i₁&i₂&…&i_r в С дает ТДНФ для f . Все ТДНФ для функции f исчерпываются элементарными конъюнкциями в выражении С.

Пример 5. Сокращенная ДНФ для функции f = (1111010010101111) имеет вид

Для функции f построим все минимальные ДНФ.

1. Строим матрицу покрытий (таблица 3.5).

Таблица 3.5

		Конституенты единицы функции f
1.5.1.1.2N	ПИ	x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y z z z z z z z z z z z t t t t t t t t t t t
1 2 3 4 5 6	x y xy yt xt xz t yz t	+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

2. Строим решеточное выражение (по столбцам таблицы).

E = (23)(25)(23)2(56)(34)(34)(14)(16)(14)(1)= (23)(25)(56)(34)(14)(16)12 = (56)(34)(1)(2) = 1235124512361246.

3. Строим все тупиковые ДНФ функции f:

простые импликанты(ПИ) 1,2,3,5;

простые импликанты 1,2,4,5;

простые импликанты 1,2,3,6;

простые импликанты 1,2,4,6.

4. Все найденные ТДНФ являются минимальными ДНФ.