2.Свойства элементарных функций

1. Идемпотентность & и : х&x=x , xx=x.

2. Коммутативность &,,,|,~, .

3. Ассоциативность &,,,~, поэтому в формулах вида xyz можно не ставить никаких скобок.

4. Дистрибутивность:

а) & по отношению к : x&(yz)=xyxz ,

б) по отношению к &: x(y&z)=(xy)&(xz) ,

в) & по отношению к : x(yz)=xyxz .

5. Инволюция: =х .

6. Правило де Моргана: = & и =  .

7. Законы действия с 0 и 1:

x0=x , x1=1 , x =1 , x&0=0 , x&1=x , x& =0 , x1= , x0=x.

8. Самодистрибутивность импликации: x (yz)=(xy) (xz).

Равенство всех этих формул доказывается по определению, т.е. по равенству функций, которые они реализуют.

Проверим для примера самодистрибутивность импликации: x(yz)=(xy)(xz).

x	y	z	yz	x(yz)	xy	xz	
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 1 0 1 1 1 0 1	1 1 1 1 1 1 0 1	1 1 1 1 0 0 1 1	1 1 1 1 0 1 0 1	1 1 1 1 1 1 0 1

При оперировании с функциями алгебры логики бывают полезны следующие эквивалентности (большинство из них называют обычно основными эквивалентностями алгебры логики). Построив таблицу для соответствующих функций, можно убедиться в справедливости следующих эквивалентностей:

1. – коммутативность связки , где символ  является общим обозначением для связок (операций) &, , , ~, |, .

2. – ассоциативность связки , где – общее обозначение для связок &,,,~.

3. Дистрибутивность

а) – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

б) – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции;

в) – дистрибутивность конъюнкции относительно сложения по mod 2 (по модулю два).

4. а) ; б) суть правила де Моргана;

5. а) ; б) суть правила поглощения;

6. а) ; б) ;

7. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

8. а) ;

б) ; в) ;

9. а) ; б) .

Следствия из свойств элементарных функций

1. Законы склеивания:

xyx =x(y )=x 1=x (дистрибутивность & относительно );

(xy)&(x )=x y =x0=x (дистрибутивность  относительно &).

2. Законы поглощения:

xxy=x(1y)=x 1=x; x&(xy)=xxy=x.

Свойства элементарных функций и теорема о замене подформул на эквивалентные позволяют упрощать формулы.

Пример 3: Упростим формулы:

1. x₂x₃x_{1 2}x₃ = x₃(x₂x_{1 2}) = x₃((x₂x₁)&(x₂ ₂)) = (x₁x₂)x_3.

2. x₁ ₁x₂ _{1 2}x₃ _{1 2}x₃x₄ = x₁ ₁(x₂ _{2 3}x₄) = x₁ ₁ (x₂x₃ _{2 3}x₄) = (x₁ ₁)(x₁x₂x₃ _{2 3}х₄) = x₁(x₂x₃)( )x₄ = x₁(x₂х₃( ))(x₂x₃x₄) = x₁x₂x₃x_4.

3.Принцип двойственности

Определение 1. Функции f*(x₁, ..., x_n) называется двойственной к функции f(x₁, ..., x_n), если f*(x₁, ..., x_n) = ( ₁, ..., _n).

Пример 1. Покажем с помощью таблицы истинности, что константа 0 двойственна к 1:

x	f	f*
0 1	0 0	1 1

Функции f(x) = x и g(x) = двойственны сами себе:

x	f	f*	g	g*
0 1	0 1	0 1	1 0	1 0

так как f*(0)= (1).

Определение 2. Если f*(x₁, ..., x_n) = f(x₁, ..., x_n), то f(x₁, ..., x_n) называется самодвойственной.

Пример 2. Покажем, что f(x₁,x₂,x₃)=x₁x₂x₃ – самодвойственна:

x1	x2	x3	f	f*
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 1 0 1 0 0 1	0 1 1 0 1 0 0 1

Если f*– самодвойственна, то ( ₁, ..., _n) = f(x₁, ..., x_n), т.е. на противоположных наборах функция принимает противоположные значения.

Пример 3. Покажем, что функция х₁х₂ двойственна к x₁&x₂, функция х₁ х₂ двойственна к функции x₁|x₂.

x1 x2	f=х1х2	f*	g=x1|x2	g*=x1 x2
0 0 0 1 1 0 1 1	0 1 1 1	0 0 0 1	1 1 1 0	1 0 0 0

Теорема о двойственных функциях

Если f* двойственна к f, то f двойственна к f*.