49. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля.

Силовое поле, в котором циркуляция вектора напряженности _{вдоль замкнутого контура равна 0, называется потенциальным. Это электростатическое поле точечного заряда.}

Тело, находящееся в потенциальном поле сил обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа, которую можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Q₀ в начальной и конечной точках поля заряда Q:

38.Магнитный момент. Силы, действующие на магнитный момент и его энергия в магнитном поле.

Магнитный момент элементарных частиц (электронов,протонов,нейтронови других), как показалаквантовая механика, обусловлен существованием у них собственного механического момента —спина. Магнитный момент измеряется вА⋅м²илиДж/Тл(СИ). В случае плоского контура с электрическим током магнитный момент вычисляется как

m=ISn ,где I — сила тока в контуре, S — площадь контура, n— единичный вектор нормали к плоскости контура. Направление магнитного момента обычно находится по правилу буравчика: если вращать ручку буравчика в направлении тока, то направление магнитного момента будет совпадать с направлением поступательного движения буравчика. Для произвольного замкнутого контура магнитный момент находится из:

,где — радиус-вектор проведенный из начала координат до элемента длины контура dl, В общем случае произвольного распределения токов в среде: ,

где j—плотность токав элементе объёмаdV.орбитальным магнитныммоментом(см. (109.2))p_m=ISn, модуль которогогдеI=e — сила тока, — частота вращения электрона по орбите,S — площадь орбиты. Если электрон движется по часовой стрелке то ток направлен против часовой стрелки и векторр_m(в соответствии с правилом правого винта) направлен перпендикулярно плоскости орбиты электрона.Таким образом, общий магнитный момент атома (молекулы)p_aравен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) входящих в атом (молекулу) электронов:

3.Основные определения векторного анализа: градиент, поток вектора, циркуляция, дивергенция, ротор.

Векторный анализ — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух или более измерениях.

Градиент — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей. Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т. д. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения v=v(x,y,z) . Тогда масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность S, будет равна потоку векторного поля v через поверхность S.

Дивергенция — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (т.е. операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), насколько расходятся входящий и исходящий поток. С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля: div F > 0 — точка поля является источником; div F < 0 — точка поля является стоком; div F = 0 — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.

Дивергенция вектора плотности тока дает минус скорость накопления заряда в обычной трёхмерной физике (так как заряд сохраняется, то есть не исчезает и не появляется, а может только переместиться через границы какого-то объёма, чтобы накопиться в нем или уйти из него; а если и возникают или исчезают где-то положительные и отрицательные заряды — то только в равных количествах).

Ротор, или вихрь — векторный дифф. оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Eсли в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии для антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.