21. Исчисление высказываний. Построение доказательства Методом Modus ponens

Одним из возможных вариантов (Гильбертовской) аксиоматизации логики высказываний является следующая система аксиом:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

вместе с единственным правилом:

Modus ponens(правило заключений): если A и A→B — выводимые формулы, то B также выводима.

Форма записи: , гдеA, B— любые формулы.

Принцип работы правил вывода хорошо иллюстрирует следующий пример:

«Если известно, что высказывание «А» влечет (имплицирует) высказывание «В», а также известно, что высказывание «А» истинно, то, следовательно, «В» истинно»

22. Исчисление высказываний. Построение доказательства методом резолюций

В математической логике и автоматическом доказательстве теорем, правило резолюций – это правило вывода, восходящее к методу доказательства теорем через поиск противоречий; используется в логике высказываний и логике предикатов первого порядка. Правило резолюций, применяемое последовательно для списка резольвент, позволяет ответить на вопрос, существует ли в исходном множестве логических выражений противоречие. Правило разработано Джоном Аланом Робинсоном в 1965.Пусть C₁ и C₂ - два предложения в исчислении высказываний, и пусть , а , где P - пропозициональная переменная, а C'₁ и C'₂ - любые предложения (в частности, может быть, пустые или состоящие только из одного литерала).

Правило вывода называется правилом резолюции.

Предложения C₁ и C₂ называются резольвируемыми (или родительскими), предложение - резольвентой, а формулы P и - контрарными литералами.

23. Исчисление высказываний. Построение доказательства методом Вонга

Близким к методу резолюций является метод Вонга, в котором тоже используется сконструированная конъюнктивно-дизъюнктивная нормальная форма представления исходной клаузы, а аксиому порядка заменяет клауза Вонга:

X, l  X; r,

здесь X пробегает некоторые буквы, входящие в клаузу, а L и R — определенные комбинации дизъюнктов и конъюнктов.

Конструктивнаяпроцедура доказательства сводится к последовательной разбивке дизъюнктов или конъюнктов таким образом, чтобы слева и справа от метаимпликации появилась одна и та же буква X. Если в результате такой разбивки все конечные клаузы приобретают вид клаузы Вонга, то и исходная клауза была составлена верно. Разберем метод Вонга на примере доказательства справедливостиправила отделения:

А, А → В  В     или     А, А В  В.

Здесь имеется только один дизъюнкт, который можно разбить на две новых клаузы:

А, А В     и     А, В  В.

Вторая клауза удовлетворяет и аксиоме порядка и клаузе Вонга. В качестве Х в ней выступает терм В, L = А и R = 0. Первая же клауза тоже будет удовлетворять необходимым требованиям, но только после того, как терм Аиз левой части клаузы с противоположным знаком перенести в правую часть. Тогда будем иметь:

А  А; В     где Х = А, L = 1 и R = В.

При большом числе термов в исходной клаузе прибегают к специальной нумерации производных клауз, чтобы не запутаться. Пусть требуется установить справедливость следующей клаузы: