10. Формальная аксиоматическая теория (фат),теорема дедукции, правило силлогизма и перестановки посылок.

(правило силлогизма ПС)

(правило перестановки посылок ПП)

Теорема дедукции: Если Г, A|-B, то Г|-AB.

Доказательство. Пусть последовательность формул B₁, B₂, …, B_m есть вывод B из Г,A. В ней B_m = B. Индукцией по i покажем, что Г|-AB_i для каждого i = 1, …, m. При i = m будем иметь утверждение теоремы. Сначала заметим, что, по определению вывода, для каждой формулы B_i при i{1, …, m} возможны следующие случаи: 1) B_i =A, 2) B_i – аксиома, 3) B_iГ. В случае 1), ввиду |-AA (пример 1), имеем |-AB_i и, следовательно, Г|-AB_i. В случаях 2) и 3) выводом AB_i из Г служит последовательность B_i, B_i(AB_i), AB_i, в которой первая формула является аксиомой или принадлежит Г, вторая формула есть аксиома 1 и третья получена из них по правилу отделения.

1. A(BA)

В качестве единственного правила вывода в ИВ мы принимаем правило modus ponens, или правило отделения,по которому, каковы бы ни были формулы A и B, из формул A и AB получается формула B.При i ≤ 2 других случаев нет, и база индукции установлена. При i > 2 возможен еще один случай: 4) B_i получена из B_j и B_k для некоторых j, k <i по правилу отделения, B_k = (B_jB_i) и, по предположению индукции, Г|-AB_j и Г|-AB_k, т.е. Г|-A(B_jB_i). В этом случае вывод AB_i из Г строится так: из Г выводится AB_j, берется аксиома 2 в виде (AB_j)((A(B_jB_i))(AB_i)) и по правилу отделения

2. (AB)((A(BC))(AC))

В качестве единственного правила вывода в ИВ мы принимаем правило modus ponens, или правило отделения,по которому, каковы бы ни были формулы A и B, из формул A и AB получается формула B.получается формула (A(B_jB_i))(AB_i), из Г выводится A(B_jB_i) и из последних двух формул по правилу отделения получается требуемая формула AB_i.

11.Исчисление высказываний: связь между теоремами исчисления высказываний и тавтологиями.

Всякая теорема в ИВ является тавтологией.

Лемма:,…|-A (*)

Теорема:Всякая тавтология является теоремой в ИВ.

Док-во:Пусть А зависит от букв ,… и является тавтологией.Тогда А=А для любого истинностного набора букв .Следовательно по лемме(*) имеем

,…|-A, ,…|-A

Применив теорему дедукции получим

,…A ,,…

Применив схему Т9, по правилу МР получим

,…|-A

Таким образом, мы смогли исключить из посылок .Повторяя рассуждения еще k-1 раз, мы можем исключить из посылок все буквы и получим окончательно, что |-A.Следовательно, любая тавтология А является теоремой ИВ.

12. Логика предикатов: понятия терма и предиката, кванторы.

Предикат– это высказывание, в которое можно подставлять аргументы. Если аргумент один – то предикат выражает свойство аргумента, если больше – то отношение между аргументами.

Пример предикатов. Возьмём высказывания: ``Сократ - человек'', ``Платон - человек''. Оба эти высказывания выражают свойство ``быть человеком''. Таким образом, мы можем рассматривать предикат ``быть человеком'' и говорить, что он выполняется дляСократаиПлатона.

Функциональные буквы, применённые к предметам, порож­дают термы. Более точно:

1. предметные постоянные и предметные переменные суть термы;

2. если— функциональная буква, и t1, ..., tn — термы, то -тоже терм.

Квантор всеобщности — это условие, которое верно для всех обозначенных элементов, в отличие от квантора существования, где условие верно только для каких-то отдельных из указанных чисел.

Выражение читается так:

• для любого (всякого, каждого) [значения] x из X P(x) [истинно];

• всякий (любой, каждый) элемент x множества X (где X — множество значений переменной x) обладает свойством P(x);

• каково бы ни было x, P(x) истинно.

квантор существования — это предикат свойства или отношения для, по крайней мере, одного элемента области определения.

Выражение читается так:

• существует [значение] x из X такое, что P(x) [истинно]

• для некоторых [значений] x из X, P(x) [истинно]

• существует элемент x множества X, обладающий свойством P(x)

• по крайней мере (хотя бы) один элемент x множества X обладает свойством P(x)

• некоторые элементы множества X обладает свойством P(x)

• найдётся такое x из X, что P(x) истинно