5. Алгебра высказываний; полные системы функций, базис
Система пропозициональных связок наз-ся полной, если любая пропозициональная форма может быть записана с помощью связок только из этой системы. Сис-ма пропозициональных связок наз-ся независимой, если никакая из связок этой сис-мы не может быть выражена через другие связки той же сис-мы. Полная независимая сис-ма связок наз-ся базисом.
Сис-ма
связок {¬,
,&}
явл-ся полной.
Теорема.
Система связок {¬,
}
явл-ся базисом
6. Понятие формальной аксиоматической теории. (фат)
Формальные аксиоматические теории (ФАТ) представляют собой одно из средств, используемых для решения более сложных вопросов логики, для решения которых нет эффективной процедуры. Задать ФАТ – значит определить следующие ее компоненты:
1)Алфавит теории-счетное множ-во, элементы которого служат символы для построения слов.
2) Формулы теории – те слова, которые считаются осмысленными.
3) Аксиомы теории – те формулы, которые счит-ся не нуждающимися в док-ве. Множ-во аксиом может быть бесконечным.
4) Правила вывода, определяющие, в каком случае мы считаем одну формулу непосредственным следствием других.
Если
для формулы A
сущ-ет вывод,то говорят, что она явл-ся
теоремой ФАТ, и пишут так: 
.
7. Исчисление высказываний, как формальная аксиоматическая теория (фат).
В кач-ве основного примера ФАТ рассмотрим исчисление высказываний (ИВ).
1)Алфавит
ИВ состоит из пропозициональных букв,
пропорциональных связок 
и –(не) и скобок.
2)
Формулы ИВ – это все ПФ, содержащие лишь
связки –(не) и 
3)Аксиом в ИВ бесконечно много, но каждая из них пол-ся из одной из следующих 3 схем аксиом:
А1:
;
A2:
;
A3:
Подстановкой вместо A,B,C произвольных формул ИВ.
4)
Правило вывода в ИВ всего одна: формула
B
счит-ся непосредственным следствием
формул A
и 
.
(modus
ponens), сокращенно
MP.
T1:
;
T2:
(правило силлогизма ПС)
T3:
(правило перестановки посылок ПП)
T4:
T5:
T6:
T7:
T8:
T9:
T10:
8. Формальная аксиоматическая теория (фат), определение аксиомы, правило вывода
Аксио́ма— утверждение (факт), принимаемое истинным без доказательства, а также как «фундамент» для построения доказательств.
Аксиом в ИВ бесконечно много, но каждая из них пол-ся из одной из следующих 3 схем аксиом:
А1:
;
A2:
;
A3:
Подстановкой вместо A,B,C произвольных формул ИВ.
Правило
вывода в ИВ всего одна: формула B
счит-ся непосредственным следствием
формул A
и 
.
(modus
ponens),
сокращенно MP.
T1:
;
T2:
(правило силлогизма ПС)
T3:
(правило перестановки посылок ПП)
T4:
T5:
T6:
T7:
T8:
T9:
T10:
9. Формальная аксиоматическая теория (фат), формализация понятий теоремы и ее док-ва.
В
ФАТ выводом или док-ом формулы A
наз-ся конечная цепочка формул, каждая
из которых есть либо аксиома, либо
непосредственное следствие каких-либо
из предыдущих формул по одному из правил
вывода, причем последняя формула этой
цепочки- это и есть формула A.Если
для формулы A
сущ-ет вывод,то говорят, что она явл-ся
теоремой ФАТ, и пишут так: 
.
Предложение
: Всякая формула, полученная по схеме
явл-ся
теоремой ИВ.
Док-во: чтобы док-ть, что формула явл-ся теоремой, надо предъявить ее вывод. Вот он:
(1)
схема
;
(2)
схема 
;
(3)
из (1), (2) по MP
(формула B
счит-ся непосредственным следствием
формул A
и 
.)
(4)
схема 
;
(5)
из (3), (4) по MP