4. Декартово произведение множеств.

Будем называть упорядоченной парой (a, b) расположение двух элементов a и b в указанном порядке: a  первый элемент, b второй элемент. Упорядоченной тройкой (a, b, c)  расположение трех элементов a, b, c в указанном порядке: a  первый элемент, b второй, с  третий. Вообще упорядоченная nка (a₁, а₂, …, a_n)  расположение n элементов a₁, а₂, …, a_n в указанном порядке: a₁  первый элемент, а₂  второй, …, a_n  nый элемент.

Очень часто слово "упорядоченная" опускают и для краткости речи говорят "пара", "тройка", "nка". Упорядоченную nку называют также кортежем длины n. Элементы, из которых состоит nка, называются ее компонентами или координатами.

Определение 4.1. Две nки (a₁, а₂, …, a_n) и (b₁, b₂, …, b_n) называются равными, если соответствующие компоненты nк равны, т.е. (a₁, а₂, …, a_n) = (b₁, b₂, …, b_n) тогда и только тогда, когда a_{1 =} b₁, а₂ = b₂, …, a_n = b_n.

Например, (1, 2) = (1, 2), (2, 1)  (1, 2).

О пределение 4.2. Декартовым или прямым произведением множеств А и В называется множество, обозначаемое АВ и состоящее из всех упорядоченных пар (a, b) таких, что a  A, b B:

АВ ={(a, b) a  A, b B }.

Декартовым или прямым произведением n множеств A₁, A₂, …, A_n называется множество, обозначаемое A₁A₂…A_n и состоящее из всех упорядоченных nк (a₁, а₂, …, a_n) таких, что a₁  A₁, а₂  A₂, …, a_n  A_n:

A₁A₂…A_n ={(a₁, а₂,…, a_n) a₁  A₁, а₂  A₂, …, a_n  A_n }.

Примеры. 6.1. Пусть A = {1, 2}, B = {a, b}, C = {5}. Тогда

AB = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}, BA = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2)},

ABC = {(1, a, 5), (1, b, 5), (2, a, 5), (2, b, 5)}.

2. Пусть A = [1, 2], B = [1, 4]. Тогда AB изображает множество всех точек P(x, y) плоскости xOy с координатами x, y, где 1  x  5 , 1 y  4. Если A изобразить отрезком оси Ox, а B  отрезком оси Oy, то множество AB изобразится прямоугольником, указанным на Рис. 1.4.

Определение 4.3. Декартовой nй степенью множества A называется множество, обозначаемое Aⁿ и являющееся декартовым произведением множества A на себя n раз:

.

Мы считаем, что A¹ = A. Множества A² и A³ называются соответственно декартовым квадратом и декартовым кубом множества A.

Например, если A = {1, 2}, то A² = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Наглядным образом декартова квадрата R² = RR является множество всех точек плоскости xOy, декартова куба R³ = RRR является множество точек трехмерного пространства Oxyz.

Теорема 4.1. Прямое произведение A₁A₂…A_n - непустое множество тогда и только тогда, когда непустым является каждое из множеств A₁, A₂, …, A_n .

Доказательство. ТУ 4.1.

Теорема 4.1. Для любых множеств А, В, С справедливы дистрибутивные законы:

1.1. A(BC) = (AB)  (AC), 1.2. (AB)C = (AC)  (BC);

2.1. A(BC) = (AB)  (AC), 2.2. (AB)C = (AC)  (BC);

3.1. A(B\C) = (AB) \ (AC), 3.2. (A\B)C = (AC) \ (BC).

Доказательство. ТУ 4.2.

Замечание 4.1. Отметим, что для декартова произведения множеств не справедливы коммутативный и ассоциативный законы. Это легко установить, приведя контр примеры.

Упражнения: 4.1. Изобразить множество AB, если A = {xR x²x60} , B = {xR x²+x60}.

4.2. Привести примеры, показывающие не выполнимость коммутативного и ассоциативного законов операции декартова произведения.

4.3. Доказать теорему 4.1.