4. Операции над множествами.

Определение 3.1. Объединением двух множеств А и В называется множество, обозначаемое А  В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В :

А  В = {x x  A или x В}.

Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, то А  В = {1, 2, 3, 4, 5} (см. также рис. 1.2).

Определение 3.2. Пересечение двух множеств А и В называется множество, обозначаемое А  В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат обеим множествам А и В одновременно:

А  В = {x x  A и x В}.

Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, то А  В = {3} (см. также рис. 1.2).

О пределение 3.3. Разностью двух множеств А и В называется множество, обозначаемое А \ В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В:

А \ В = {x x  A и x В}.

Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, то А \ В = {1, 2}, В \ А = {4, 5} (см. также рис. 1.3).

Определение 3.4. Дополнением множества А до множества U называется множество, обозначаемое и равное разности множеств U и A: = U \ A.

Вместо обозначения употребляются также обозначения СА или C_UA (последнее  при необходимости указать множество U).

Н апример, если U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {3, 4, 5}, то = {1,2,6} (см. также рис. 1.3).

Определение 3.5. Симметрической разностью двух множеств А и В называется множество, обозначаемое А  В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В или принадлежат множеству В, но не принадлежат множеству А:

А  В = {x (x  A и x В)или(x  В и x А)} = (А \ В)(В\ А).

Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, то А  В = {1, 2, 4, 5} (см. также рис. 1.3).

Операции над множествами вполне определяются следующей таблицей принадлежности, в которой "1" обозначает то, что элемент принадлежит множеству, "0"  элемент не принадлежит множеству.

A	B	A  B	A  B	A \ B	A  B	CA
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1	0 0 0 1	0 0 1 0	0 1 1 0	1 1 0 0

Теорема 3.1. Для любых множеств А, В, С справедливы свойства:

1.1. (A  B)  C = A  (B  C), 1.2. (A  B)  C = A  (B  C) (ассоциативные законы);

2.1. A  B = B  A , 2.2. A  B = B  A (коммутативные законы);

3.1. A(BC) = (AB)(AC), 3.2. A(BC) = (AB)(AC) (дистрибутивные законы);

4.1. A   = A , 4.2. A  U = A (законы нейтральных элементов);

5.1. A  U = U , 5.2. A   =  (законы поглощения);

6.1. A  A = A , 6.2. A  A = A (законы идемпотентности);

7.1. A  СA = U , 7.2. A  СA =  (законы дополняемости);

8.1. С(A  B) = CA  CB, 8.2. C(A  B) = CA  CB (законы А. де Моргана: шотландский математик  (18061871));

9.1. C = U , 9.2. CU =  ;

10. C(CA) = A (закон инволюции).

Доказательство. Все равенства можно доказать используя определения равенства множеств и определения 3.13.5 булевых операций. Докажем, например, первую формулу де Моргана.

1. Пусть x  С(A  B). Тогда по определению 3.4 x  A  B и по определению 3.1 x  A и x  B. Следовательно, по определению 3.4 x  СA и x  СB и по определению 3.2 x  CA  CB.

2. Пусть x  CA  CB. Тогда по определению 3.2 x  СA и x  СB и по определению 3.4 x  A и x  B. Следовательно, по определению 3.1 x  A  B и по определению 3.4 x С(A  B).

Для проверки равенства множеств удобно использовать таблицы принадлежности. Докажем этим способом равенство 3.1. Для этого составим таблицы принадлежности множеств, стоящих в правой и левой частей формулы, совместив их в одной таблице:

A	B	C	B  C	A(BC)	A B	AC	(AB)(AC)
1 1 1 1 0 0 0 0	1 1 0 0 1 1 0 0	1 0 1 0 1 0 1 0	1 0 0 0 1 0 0 0	1 1 1 1 1 0 0 0	1 1 1 1 1 1 0 0	1 1 1 1 1 0 1 0	1 1 1 1 1 0 0 0

Так как пятый и восьмой столбцы построенной таблицы совпадают, то это показывает, что каждый элемент множества A(BC) принадлежит множеству (AB)(AC) и обратно, и эти множества равны.

Упражнения: 3.1. Пусть A = {xR x²x60} , B = {xR x²+x60}. Найти множества AB, AB, A\B, B\A.

3.2. Пусть A = {(x, y) x²+y²90} , B = {xR x+2y+60}. Изобразить на плоскости множества AB, AB, A\B, B\A.

3.3. Изобразить множества в правой и левой частях равенств 1.19 теоремы 3.1 на диаграммах ЭйлераВенна.

3.4. Доказать равенства 3.13.2, 8.2 теоремы 3.1 по определению.

3.5. Доказать равенства 1.19 теоремы 3.1 с помощью таблиц принадлежности.