440305 Алгебра и теория чисел Толстиков а.В.

Раздел 1. 1. Введение в алгебру и геометрию

Курс 1. Семестр 1. Лекция 1.1. Множества

План

1. Основные понятия логики. 2. Множества. Подмножества. 3. Операции над множествами.

4. Декартово произведение множеств.

Литература: Ермаков В.И. с. 276-280. Ильин В.А., с.183-195. Шнейдер В.Е. 285-296. Кремер Н.Ш. 251-266.

1. Основные понятия логики.

Основные понятия логики высказывание и предикат. Под высказыванием понимается повествовательное предложение, о котором можно сказать только одно из двух истинно это предложение или ложно. Определения, вопросительные восклицательные предложения высказываниями не являются. Если высказывание истинно, то его значение будем считать равным 1 ("истина"), если ложно  равным 0 ("ложно"). Условимся обозначать высказывания прописными латинскими буквами: A, B, C, …Высказывания обозначаем большими буквами.

Введем логические операции над высказываниями, которые позволяют из одних высказываний строить другие более сложные.

Определение 1.1. Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое А  В, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний А или В.

Дизъюнкция называется логическим сложением. В русском языке знаку "" соответствует союз "или", понимаемый в смысле "хотя бы одно из …". Символ A  B читается "А или В", "А дизъюнкция В".

Например , "5 < 7 или 5 = 2"  истинное высказывание, "2+2 = 7 или 5 = 2"  ложное высказывание.

Определение 1.2. Конъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое А  В или А  В, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны одновременно оба высказывания А и В.

Конъюнкция называется логическим умножением. В русском языке знаку "" соответствует союз "и". Символ A  B читается "А и В", "А конъюнкция В".

Например , "5 < 7 и 2+2 = 4"  истинное высказывание, "2 > 7 и 5+2 = 7"  ложное высказывание.

Определение 1.3. Импликацией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое А  В, которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание А истинны, а В ложно.

При этом говорят, что А  посылка, В  заключение.

Импликация называется логическим следованием. Символ A  B читается "если А , то В", "из А следует В", "А влечет В", "А импликация В".

Например, "если 5 < 7, то 2+2 = 4"  истинное высказывание, "если 2 > 7, и 5+2 = 7"  ложное высказывание.

Определение 1.4. Эквиваленцией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое А  В, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывание А и В истинны или ложно одновременно.

Символ A  B читается "А тогда и только тогда, когда В", "А эквивалентно В", "А необходимо и достаточно для В".

Например, "5 < 7 тогда и только тогда, когда 2+2 = 4"  истинное высказывание, "2 > 7 эквивалентно 5+2 = 7"  ложное высказывание.

Определение 1.4. Отрицанием высказывания А называется высказывание, обозначаемое или А, которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание А истинны.

Операции отрицания соответствует в русском языке частица "не". Символ читается "не А", "неверно, что А".

Определения 1.11.5 можно записать в виде так называемых таблиц истинности (для компактности все таблицы сведены в одну):

A	B	A  B	A  B	A  B	A  B
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1	0 0 0 1	1 1 0 1	1 0 0 1	1 1 0 0

Некоторые логические операции можно выразить через другие , используя равносильности следующей теоремы.

Теорема 1.3. Для любых переменных высказываний А, В, С справедливы свойства:

1. A  B  A  B; 2. A  B  (A  B)(B  A); 3. A  B  (A  B)( B  A);

4. (A  B)  A  B; 5. (A  B)  A  B (законы А. де Моргана);

6. (A  B)  A  B; 7. (A  B) = (A  B)  ( B  A).

Замечание. Доказываются эти равенства с помощью таблиц истинности. Равенства 4-7 используются для построения отрицаний.