Лекция №7
Международный факультет прикладных информационных технологий
Бакалавриат «Информатика и вычислительная техника»
Математические основы информатики. Системы счисления
Системы счисления 1
Двоичная система счисления 4
Двоичная арифметика 7
Шестнадцатеричная система счисления 8
Восьмеричная система счисления 9
Перевод чисел из одной системы счисления в другую 10
Нетрадиционные системы счисления 14
Уравновешенная троичная система счисления 14
Системы счисления с отрицательными основаниями 14
Отрицательные числа 15
Системы счисления
Определение 1. Система счисления. Системой счисления называется совокупность приёмов наименования и записи чисел.
В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые базовые символы (цифры), и все числа получаются в результате строго определённых операций над ними.
Существует два известных типа систем счисления: непозиционные и позиционные.
Определение 2. Непозиционная система счисления. Непозиционной системой счисления называния такая система счисления, в которой каждая цифра имеет одно и тоже значение независимо от положения в записи числа.
Пример 1. Непозиционная система счисления. Римская система счисления является непозиционной системой счисления. Базовыми символами (цифрами) римской системы являются: I, V, X, L, C, D, M.
Пример 2. Запись числа в позиционной системе счисления: XIX цифра X повторена дважды и её значение в обоих случаях равно десяти.
Римская система счисления в настоящее время на практике используется, например, при нумерации глав книги, на циферблатах указании годов выпуска фильмов.
Пример 3. Славянская система счисления.
В настоящее время наиболее распространены позиционные системы счисления.
Определение 3. Позиционная система счисления. Позиционной системой счисления называется такая система счисления, в которой цифры имеют разный вес в записи числа.
Т.е. значение числа определяется не только самими его цифрами, но и местоположением каждой из цифр, т.е. цифры имеют разный вес в записи числа.
Пример 3. Десятичная система счисления является позиционной системой счисления. В десятичной системе используется десять базовых символов (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Определение 4. Основание системы счисления. Основанием системы счисления называется количество различных цифр, используемых для записи чисел в позиционной системе счисления.
Пример 4. Запись числа в позиционной системе счисления: в записи 1909 цифра 9 повторена два раза, при этом первая слева цифра означает число сотен, а вторая - число единиц в числе в указанном числе. Само же число 1909 можно представить в виде многочлена по степеням основания:
1*103 + 9*102 + 0*101 + 9*100
Соответственно любое десятичное число X можно представить в виде многочлена по степеням основания системы счисления:
X = an*10n + an-1 *10n-1 + ... + a1 *101 + a0 *100 + a-1*10-1 + a-2*10-2 + a-3*10-3 …. , где цифры
ai 0, ... ,9
Основание системы счисления может быть отличным от 10. Запись произвольного числа X в системе счисления по основанию R имеет вид:
X = an*Rn + an-1 *Rn-1 + ... + a1 *R1 + a0 *R0 + a-1 *R-1 + R0 + a-2 *R-2 + a-3 *R-3 …. ,
где цифры ai 0, ... ,R-1
Говорят, что десяток системы счисления с основанием R равен R.
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе. При этом только нужно пользоваться соответствующими таблицами сложения и умножения.
Тот факт, что любое целое, больше 1, может служить основанием системы счисления, впервые сформулировано Блезом Паскалем (Blaise Pascal) в De Numeris Multiplicibus, которая занимает 13 страниц его Oeuvres, была представлена Парижской академии в 1654 году и впервые была опубликована в 1655 году как приложение к трактату «Traite du triangle Arithmetique» .
Рис.1 Титульный лист трактата Б. Паскаля «Traite du triangle Arithmetique» Библиотека Кембриджского университета. Коллекция цифровых образов. http://www.lib.cam.ac.uk/cgi-bin/PascalTriangle/browse?1
Паскаль писал: «Denatie enim ex instituto honimum, non ex necessitate naturae ut vulgus arbitratur, et sane sats inepte, posite est» , т.е. «Десятичная система построена довольно неразумно, в соответствии с человеческими обычаями, а вовсе не с требованиями естественной необходимости, как склонно думать большинство людей». Он утверждал, что было бы желательно перейти к двенадцатеричной (по основанию двенадцать) системе счисления и предложил правило проверки делимости двенадцатеричного числа на 9. Происхождение двенадцатеричной системы, по-видимому, обусловлено счётом по фалангам пальцев руки, которые имеют двенадцать фаланг (см. рис. 1). Перебирая большим по фалангам пальцев счёт ведётся от 1 до 12. Затем 12 принимается за единицу следующего разряда и т.д. В устной речи остатки двенадцатеричной системы сохранились и до наших дней: вместо того чтобы сказать «двенадцать», часть говорят «дюжина». Многие предметы (ножи, вилки, тарелки и пр.), как правило, считаются дюжинами, а не десятками.
Рис.2 Двенадцатеричная система счисления. Счёт по фалангам пальцев.
Эрхард Вайгель (Erhard Weigel) в ряде публикаций, начиная с 1673 года, пытался пробудить интерес к четверичной (по основанию четыре) системе счисления. Подробное обсуждение арифметики по основанию двенадцать было проведено Джошуа Джордэйном (Josha Jordaine) в работе Duodecimal Arithmetick.
В настоящее время в компьютерных науках используется несколько позиционных систем счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.