Другие операции алгебры логики Импликация (следствие)
Бинарная булева функция импликация (от лат. implicio – тесно связываю). Импликация в литературе имеет обозначения "→".
Таблица истинности импликации следующая:
p→ q |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Эквивалентность (равносильность)
Бинарная булева функция истинная тогда и только тогда, когда оба p и q имеют одинаковое значения. Эквивалентность в литературе имеет обозначение "↔",
Таблица истинности эквивалентности следующая:
p↔q |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Штрих Шеффера
Бинарная булева функция, ложная тогда и только тогда, когда оба высказывания p и q истинны.
Штрих Шеффера в литературе имеет обозначения: «|».
Генри Шеффер (Henry Sheffer) в 1913 г. доказал что булева алгебра может быть определена с использованием единственной первичной бинарной логической функции, которую можно выразить через отрицание и конъюнкцию
Таблица истинности штриха Шеффера следующая:
p|q |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Легко заметить, что штрих Шеффера – это отрицание конъюнкции или дизъюнкция отрицаний p и q. Эту операцию также называют И-НЕ.
Стрелка Пирса
Бинарная булева функция, истинная тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Стрелка Пирса в литературе имеет обозначение "↓ "..
Чарльз Пирс в 1880 году пришёл к результатам, аналогичным Г. Шефферу, но его результаты были опубликованы только в 1933 году.
Таблица истинности стрелки Пирса следующая
p↓q |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Очевидно, что стрелка Пирса – это отрицание дизъюнкции или конъюнкция отрицаний p и q. Эту операцию также называют ИЛИ-НЕ.
Пример 6. (Булевы функции и логика). Часто булевы переменные называют высказываниями, поскольку булевы функции можно соотнести с логикой. В логике мы рассматриваем 0 как FALSE, 1 как TRUE.
Предположим, что p обозначает высказывание «Сегодня идёт дождь», а q обозначает высказывание «Я пойду в университет». Рассмотрим основные булевы функции.
∼p соответствует “not («Сегодня идёт дождь»), что в естественном языке записывается «Сегодня не идёт дождь». В соответствии с определением функции ∼ если p является истинным, то ∼p – ложным.
p ∧ q соответствует высказыванию «Сегодня идёт дождь и я пойду в университет»
p ∨ q соответствует высказыванию, «завтра у меня занятия или я остаюсь дома».
p ⊕ q соответствует высказыванию “Either I have classes tomorrow or I will stay home
Бинарная булева функция импликация (от лат. implicio – тесно связываю), приблизительный логический эквивалент оборота «если…то …».
p→ q соответствует
В записи формул алгебры логики для указания порядка выполнения операций можно использовать скобки. Для сокращения количества скобок предлагается следующее старшинство операций:
отрицание (самая старшая операция)
конъюнкция
дизъюнкция
Определение значения формулы
Исходя из того, что значение операций, которые допустимы в формулах алгебры логики, может быть только «0» или «1» следует, что значение формулы алгебры логики принимает значение «0» или «1».
Тавтология
Формулы алгебры логики, которые при всех наборах значений переменных принимают значения «1», называются тавтологиями.
Противоречивые или невыполнимые формулы
Формулы алгебры логики, которые при всех наборах значений переменных принимают значения «0», называются противоречивыми или невыполнимыми формулами.
Выполнимые формулы
Формулы алгебры логики, которые не некоторых наборах значений переменных принимают значения «0», а при других значений переменных принимают значений значения «1», называются выполнимыми.
Законы алгебры логики
операции с «0»
операции с «1»
коммутативный (переместительный)
ассоциативный (сочетательный)
дистрибутивный (распределительный)
законы поглощения
законы идемпотентности
законы де Моргана
Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении
1.Инверсия 2.Конъюнкция 3.Дизъюнкция 4.Импликация 5. Эквивалентность
Задачи
Привести таблицу истинности для штриха Шеффера. Выразить штрих Шеффера через отрицание и конъюнкцию. Выразить отрицание через штрих Шеффера.
Привести таблицу истинности для стрелки Пирса. Выразить стрелку Пирс через отрицание и дизъюнкцию. Выразить отрицание через стрелку Пирса.
Привести таблицу истинности для исключительное ИЛИ. Выразить исключительное ИЛИ через отрицание и эквивалентность.