Лекция №9

Международный факультет прикладных информационных технологий

Бакалавриат «Информатика и вычислительная техника»

Основы алгебры логики

Другие операции алгебры логики 5

Импликация (следствие) 5

Эквивалентность (равносильность) 5

Штрих Шеффера 5

Стрелка Пирса 6

Определение значения формулы 7

Тавтология 7

Противоречивые или невыполнимые формулы 7

Выполнимые формулы 7

Законы алгебры логики 7

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении 8

Задачи 8

Условные обозначения логических функций на схемах 8

Совершенные нормальные формы 8

Переход от логической функции к логической схеме 10

Алгебра логики - система алгебраических методов решения логических задач и совокупность таких задач. Алгебра логики является основным математическим аппаратом, используемым при анализе и синтезе дискретных элементов и устройств, к каковым относятся компьютеры. Название «булева алгебра» дано в честь английского математика девятнадцатого века Джорджа Буля (Boole), который разработал алгебру логики и представил. Основные работы Дж. Буля «An investigation of law of thought …» (Исследование законов мышления»), 1854 г.

Алгебра логики — это формальный аппарат описания логики процессов в цифровых устройствах. Алгебра логики имеет дело с логическими переменными, которые могут принимать только два значения, называемые различными авторами ИСТИНА и ЛОЖЬ, TRUE и FALSE, ДА и НЕТ, 1 и 0.

Определение 1 (Функция). Пусть A и B являются множествами, функция из A в B является правилом, которое задает способ нахождения единственного bВ для каждого аА. Для обозначения функции используется запись f(a) = b и также можно сказать, что f отображает a в b. Мы также говорим, что значением f от a является b.

Также можно запись f : A → B, чтобы указать что f является функцией из A в B. Множество A называется областью определения функции, а B – областью значений функции f.

Для того чтобы полностью определить функцию необходимо задать область определения, область значений и правило.

Определение 2 (Декартово произведение). Декартовым произведением множеств A и B называется множество А × В элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов (a, b), где аА и bВ. Т.е. А × В={(а, b) | аА и bВ}.

Определение 3. (Декартово произведение п-ой степени). Запись А × А × ... × А (п раз) тождественна записи Аⁿ и называется декартовым произведением п-ой степени множества А. Декартово произведение также можно записать в виде {0, 1}ⁿ.

Рассмотрим особый класс функций, называемых «булевыми функциями»

Определение 4 (Булева функция). Булева функция является функцией f отображающей декартово произведение п-ой степени ×ⁿ{0, 1} в {0, 1}. Т.е. f : ×ⁿ{0, 1} →{0, 1}. Областью определения функции f является множество ×ⁿ{0, 1}, которое по определению является множеством всех n-кортежей (x₁, … , x_n) где каждое x_i равно 0 или 1. Множество {0, 1} называется областью значений функции f.

p	q	r	g
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

Пример1. (Табличное задание булевых функций). Одним из способов представления функций, чья область определения является конечной это табличное задание. Каждому элементу x области определения соответствует значение функции f(x). Далее представленные таблицы определяют булевы функции:

f : ×²{0, 1} →{0, 1}и g : ׳{0, 1} →{0, 1}.

p	q	f
0	0	0
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Для функции f первые два значения каждой строки задают аргумент функции f, а третье значение столбца задаёт значение функции f на этом аргументе. Таким образом, f(0, 0) = 0, f(0, 1) = 1, f(1, 0) = 0, и f(1, 1) = 1.

Для функции g первые три значения каждой строки является элементом множества ׳{0, 1} (т.е. тройка (p, q, r) из 0 и 1) задают аргумент функции g, а четвертый элемент каждой строки задаёт значение функции f на этом аргументе. Таким образом, g(0, 0, 0) = 1, g(0, 0, 1) = 1, g(0, 1, 0) = 0, etc.

Следует заметить, что в примерах использовались переменные, обозначенные как p, q и r, а не x, y и z, которые обычно используются для обозначения переменных. Для обозначения переменных можно использовать любые имена, но переменные p, q и r, как правило, используются при исследовании булевых функций.

Табличное задание булевых функций часто называют задание таблицей истинности, вследствие связи булевых функций и логики, которая будет рассмотрена далее.

Пример 2. (Количество булевых функций). Сколько можно задать булевых функций с областью определения ׳{0, 1}? В более общем виде, сколько можно задать булевых функций с областью определения ×ⁿ{0, 1}?

Данная задача решается в два действия.

1. Определить количество элементов в области определения ×ⁿ{0, 1}. Для обозначения количества элементов во множестве S будем использовать запись вида |S|, которая также называется мощность множества S. В нашем случае |×ⁿ {0, 1}| = |{0, 1}|ⁿ. построим в области определения все n-кортежи x₁, x₂, . . . , x_{n где} x_i ∈{0, 1} для i = 1, 2, . . . , n. Можно присвоить x₁ два значения, можно присвоить два значения x₂ и т.д. Это означает, что общее количество элементов в области определения 2 × 2 × ··· × 2 = 2ⁿ.

2. Подсчитать количество булевых функций. В построении булевой функции h: ×3{0, 1} → {0, 1}, можно присвоить два различных значения функции h(p, q, r) для каждого элемента (p, q, r)∈×3{0, 1}. Как показано выше существует 2³ элементов вида (p, q, r) в ׳{0, 1}. Таким образом общее количество булевых функций h : ׳{0, 1} → {0, 1} равно 2*(2³). В общем количество булевых функций h : ×ⁿ{0, 1} → {0, 1} равно 2*(2ⁿ).

Пример 3. (Простейшие булевы функции). Простейшими булевыми функциями является константные функции. Поскольку есть только две константы 0 и 1, существует только две константных булевых функций.

Пример 4. (Булевы функции от одной переменной: неконстантные).

Следующими простейшими булевыми функциями являются те, которые зависят только от одной переменной, которые не являются константами. Поскольку существует 2*(2¹) = 2² = 4 булевых функций с одной переменной, из которых две являются константными. Т.о. существует 4 -2 = 2 неконстантных функций от одной переменной. Одну из этих функций можно определить как f(p) = p для всех p ∈ {0, 1}.

Другую функцию с одной переменной определяем как «not p». Обозначим данную функцию как n(p). Определение этой функции следующее: n(p) = 0 if p = 1, n(p) = 1 if p = 0. Чаще эту функции обозначают ∼p , реже n(p). ∼0 = 1 and ∼1 = 0. Символ “∼” называется «унарной операцией отрицание». Унарная означает, что функция имеет одну переменную. В литературе обозначается различными способами: «x», «не(x)»,x

Таблица истинности отрицания следующая:

0=1

1=0

Пример 5. (Булевы функции от двух переменных: and, or, исключительное or). Очевидно, что существует 2^(2²)= 2⁴=16 булевых функций от двух переменных. В этом примере рассмотрим три наиболее часто используемых функции.

Первую функцию мы определим, как «p and q». Обозначим эту функцию f(p,q). По определению, f(p, q) = 1 тогда и только тогда когда значения обоих аргументов равны 1, в противном случае значение функции равно 0. Одно из наиболее употребимых обозначений данной функции p ∧ q. Тогда мы можем записать:

0 ∧ 0 = 0, 0 ∧ 1 = 0, 1 ∧ 0 = 0, 1 ∧ 1 = 1.

Бинарная функция (pq) также называется конъюнкцией (лат. conjunctio - союз, связь) или логическим умножением. Конъюнкция в литературе может иметь обозначения: «&», «и», «•».

Таблица истинности конъюнкции следующая:

p ∧ q	0	1
0	0	0
1	0	1

Вторую функцию определим как «p or q». Обозначим эту функцию g(p,q). По определению, g(p, q) = 0 тогда и только тогда когда значения обоих аргументов равны 0, в противном случает значение функции равно 1. Одно из наиболее употребимых обозначений данной функции p ∨ q . Тогда мы можем записать:

0 ∨ 0 = 0, 0 ∨ 1 = 1, 1 ∨ 0 = 1, 1 ∨ 1 = 1.

Бинарную функцию (pq) также называют дизъюнкцией (лат. disjunctio - разобщение) или логическим сложением. Дизъюнкция в литературе может иметь обозначения: "+","или", «or».

Таблица истинности дизъюнкция следующая:

pq	0	1
0	0	1
1	1	1

Третью функцию определим как «p xor q». Обозначим эту функцию h(p,q). По определению, h(p, q) = 1 тогда и только тогда когда значения только одного аргумента равно 1, в противном случае значение функции равно 0. Одно из наиболее употребимых обозначений данной функции. p ⊕ q. Тогда мы можем записать:

p ⊕ q = 0 if p = q и p ⊕ q = 1 if p ≠ q.

Таблица истинности исключительного ИЛИ следующая:

p ⊕ q	0	1
0	0	1
1	1	0

Представим значения этих функций в сводной таблице:

p	q	f= p ∧ q		p	q	g=p ∨ q		p	q	h= p ⊕ q
0	0	0		0	0	0		0	0	0
0	1	0		0	1	1		0	1	1
1	0	0		1	0	1		1	0	1
1	1	1		1	1	1		1	1	0

Символы ∨, ∧, ⊕ называются «бинарными операторами» поскольку используют две переменные.