2.2. Математическое описание (модель) сар и ее элементов

Для построения САР необходимо знать математическое описание (модель) ОУ, т.е. зависимость, связывающую между собой параметры ОУ. Инерционный характер процесса, протекающего в ОУ, приводит к необходимости использования дифференциальных уравнений для его описания, и часто разработчик должен предусматривать где-то в контуре системы опережающее звено, которое обеспечит "антиинерционность" (форсирование). Для решения задач исследования и проектирования систем необходимо оперировать количественными характеристиками, определяющими качество ее работы. В связи с этим центральным понятием теории систем является математическая модель или оператор системы (характеризующий поведение реальной системы и отражающий все ее информационные свойства).

Математическая модель – это формальное описание системы с помощью математических средств: дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, разностных, алгебраических и т.Д.

Совокупность всех уравнений элементов дает уравнение системы в целом. Уравнения системы определяют ее математическую модель, которая для одной и той же системы в зависимости от цели исследования может быть разной. Полезно при решении одной и той же задачи на разных этапах строить разные математические модели: начинать исследование можно с простой модели, а затем ее постепенно усложнять, с тем, чтобы учесть дополнительные физические явления и связи, которые на начальном этапе не были учтены как несуществующие.

Далее рассмотрим системы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями (ДУ).

Линейными называют класс систем, описываемых линейными ДУ, в противном случае система входит в класс нелинейных систем. Линейными или нелинейными стационарными системами называют системы, которые описываются ДУ с постоянными коэффициентами. Нестационарными системами (линейными или нелинейными) называют системы, поведение которых описывается ДУ с переменными коэффициентами.

Сосредоточенными, или системами с сосредоточенными параметрами называют системы, поведение которых описывается обыкновенными ДУ. Распределенные системы – это системы, которые описываются ДУ в частных производных.

Итак, математическое описание процессов, протекающих в САР является лишь некоторым приближением к действительности, т.к. оно замещает реальную систему ее математической моделью. Любой элемент САР и вся система в целом могут быть охарактеризованы уравнениями, связывающими математической зависимостью их переменные (вход, выход и др.). В отдельных случаях такая связь получается очень простой – в виде алгебраических уравнений, однако она имеет место, если какая-либо переменная мгновенно отслеживает изменения другой переменной. В большинстве случаев это, однако, не так. Наличие емкостей и индуктивностей в электрических элементах, массы, сухого и вязкого трения в механических элементах и т.д., приводит к инерционности элементов и САР в целом при отработке входных воздействий и, таким образом, к более сложным уравнениям.

Инерционные элементы и соответственно САР, содержащие их, характеризуются ДУ, которые могут быть записаны в одной их двух основных форм:

1) в виде одного (скалярного) ДУ n-го порядка, называемого уравнением в переменных “вход-выход”; оно описывает отображение входного воздействия в выходное;

2) в виде системы из n ДУ первого порядка (разрешенных относительно производных) - системой уравнений в нормальной форме Коши, которая в ТАР носит название уравнений в “пространстве состояний”; она описывает не только отображение вход-выход, но и в определенном смысле внутреннюю структуру САР (или ОУ).