Определение вынужденного движения сар (решение неоднородного уравнения)

а) Найдем частное решение уравнения при ступенчатом воздействии

(33)

Пусть g(t)=const. Будем искать частное решение в виде пока неизвестной, но тоже постоянной величины А, т.е. Подставив в (*) вместо это выражение, а вместо , находим: , откуда с учетом того, что , получим . В целом решение уравнения (*) имеет вид:

Для определения значений констант примем следующие начальные условия:

При

Если корни действительные простые (не кратные), то постоянные могут быть определены из следующей системы уравнений (например, при ):

Здесь левые части представляют собой заданные НУ, а правые – общее решение ДУ и его производные при t₀=0. При наличии комплексных корней постоянные С_i определяются из аналогичной системы уравнений.

После нахождения всех, входящих в решение постоянных С_i , можно построить график решения. Этот график представляет собой переходный процесс (ПП) системы. А т.к. система находится под влиянием различных входных воздействий (задающих и возмущающих), то соответственно различными будут и переходные процессы.

б) Частное решение уравнения при гармоническом воздействии

Здесь g(t) представляет собой гармоническую функцию времени и может быть представлена в виде линейной комбинации функций

где g₀ – амплитуда, а  - угловая (круговая) частота, ₀ – начальная фаза.

Для упрощения вывода предположим, что ₀=0, при этом

Гармоническое воздействие такого вида может рассматриваться как сумма двух экспоненциальных воздействий (на основании формулы Эйлера)

:

Согласно принципу суперпозиции: , а частное решение при этом будет иметь вид: . Найдем эффект, создаваемый каждым из экспоненциальных воздействий в отдельности. Положив будем искать частное решение уравнения (36) для этого случая в следующем виде

Здесь неизвестная пока величина (далее будет показано, что она представляет собой функцию, не зависящую от времени, а зависящую только от частоты). Подставляя (40) и (41) в (*), получим:

После преобразования получим:

Взяв отношение выхода ко входу, получим: (44)

представляет собой отношение выходной величины ко входной .

Т.к. является комплексным выражением, то его можно представить в показательной форме: (45) , где - называют частотной характеристикой системы.

Подставляя (44) в (41), получим:

Точно так же, если положить в уравнении (1) g₁(t)=0, а g(t)=g₂(t)= , то для вынужденного движения запишем .

Итак, если g(t) является функцией вида (36), то (используя формулу Эйлера) получим:

Выражение (45) показывает, что в установившемся состоянии вынужденные движения, вызываемые в линейной динамической системе гармоническим воздействием, представляют собой также гармоническую функцию времени, имеющую ту же угловую частоту , что и входное воздействие, но отличающуюся от последнего по амплитуде и по фазе.

При этом, как ясно из (45), относительная амплитуда и фаза вынужденных колебаний определяется соответственно амплитудной А() и фазовой () частотными характеристиками.

в) Частное решение уравнения при любом периодическом воздействии

Если g(t) – периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, т.е. она на интервале Т однозначна, конечна, кусочно-непрерывна и имеет лишь конечное число точек разрыва непрерывности первого рода, то она представима в виде бесконечного сходящегося ряда Фурье:

Иногда используется комплексная форма ряда Фурье: (48)

Эта формула получается подстановкой выражений для ,

полученных на основании формулы Эйлера.

Далее находят вынужденные гармонические колебания (реакцию системы), как это было рассмотрено выше, вызванные каждой из (бесконечного числа) гармоник в отдельности, а затем, основываясь на принципе суперпозиции, они суммируются (на практике используется конечное число гармоник).

г) Частное решение уравнения при воздействии в виде непериодической функции

Если воздействие - непериодическая функция, но удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема, т.е. то ее можно представить в виде интеграла Фурье

здесь G(j) – прямое преобразование Фурье (спектральная плотность, комплексный спектр, спектральная характеристика); g(t) – обратное преобразование Фурье.

Доказательство строится на том, что сначала предполагается периодичность функции с периодом Т, затем она раскладывается в ряд Фурье, а Т устремляется к бесконечности. Ряд Фурье при этом трансформируется в интеграл Фурье.

Пример: Свободное и вынужденное движение САР, динамика которой описывается ДУ

следующего вида: , где a₀= 2, a₁=3, a₂=1, b₀=2 .

Решение однородного уравнения будем искать в виде , где С и  - пока неизвестные постоянные величины. Подставляя принятую форму решения в однородное уравнение, находим: .

Вынося за скобки , получим: .

Характеристическое уравнение имеет порядок 2, поэтому будет 2 корня, найдем их:

Общее решение однородного уравнения примет вид:

Найдем частное решение при g(t)=g₀=const=1(t)

Решение ДУ: .

Найдем неизвестные постоянные С₁ и С₂ при ННУ:

- далее можно построить график переходного процесса.