2.5. Анализ динамики сар и ее элементов

Определение свободных и вынужденных движений (колебаний) САР

Порядок ДУ САР зависит от свойств системы. В самом общем виде ДУ с постоянными коэффициентами относительно какой-либо одной переменной может быть представлено в следующем виде:

Оно определяет физические процессы, протекающие в САР. Коэффициенты a_i, b_j - характеризуют конструктивные параметры системы, поэтому являются вещественными величинами.

Решение ДУ (*) представим в виде: x(t) = x_c(t)+ x_в(t) , где x_c(t) - решение однородного уравнения (с нулевой правой частью), характеризующего свободное движение системы;

x_в(t) – частное решение, соответствующее конкретному входному воздействию (правой части ДУ), характеризует вынужденное движение САР.

Определение свободного движения сар (решение однородного уравнения)

Решение однородного уравнения (свободное движение x_c(t)):

будем искать в виде (26)

где С и  - пока неизвестные постоянные величины. Как будет видно из дальнейшего, значения С_i можно определить по известным начальным условиям (НУ) - по известным значениям решения

x(t)= x_c(t)+ x_в(t) и его n-1 производных в момент t = t₀.

Подставляя принятую форму решения (25) в (24) и дифференцируя, находим:

Вынося за скобки , получим:

Выражение (26) будет в действительности решением лишь тогда, когда при подстановке в (25) оно обращает его в тождество, т.е. равенство, справедливое при любых t.

Нетрудно заметить, что первый сомножитель левой части в (26), т.е. , при любом конечном  не равен тождественно 0 при всех t. Поэтому тождеством в отношении t уравнение (26) будет только при равенстве 0 второго сомножителя, т.е. полинома. Но полином обращается в 0 лишь при значениях , являющихся его корнями.

Отсюда следует, что выражение (25) будет являться решением однородного уравнения только тогда, когда входящая в него величина  принимает значения, равные корням уравнения

Это уравнение называют характеристическим уравнением системы. Т.к. уравнение n-го порядка имеет n корней, то решением однородного уравнения является линейная комбинация решений вида (25), каждое из которых соответствует определенному корню характеристического уравнения, т.е.: ,

где корни характеристического уравнения (27).

Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка:

Решение однородного уравнения будем искать в виде , где С и  - пока неизвестные постоянные величины.

Подставляя принятую форму решения (30) в (29) и дифференцируя, находим:

вынеся за скобки , получим

Выражение (31) будет решением однородного уравнения только тогда, когда входящая в него величина  принимает значения, равные корням характеристического уравнения

Откуда где корни характеристического уравнения.