2.4. Уравнения сар в переменных состояния (пс)

Иногда процессы в ОУ характеризуются не одной, а несколькими изменяющимися во времени взаимозависимыми переменными. Такой ОУ называют многомерным (рис. 2.8,а), а САР - соответственно многомерной (рис. 2.8,б). У такого ОУ выходы не определяется однозначно только входами, а зависят от ряда переменных. В этом случае используются векторно-матричные уравнения - уравнения в пространстве состояний. Иногда они используются и для одномерных САР – тогда одно ДУ n-го порядка путем формальных преобразований приводят к системе ДУ первого порядка и записывают в матричной форме.

Такой математический аппарат весьма удобен для описания поведения САР в любой момент времени на основе единой математической характеристики – переменной состояния.

Система ДУ (в данном случае только для ОУ) имеет вид:

(14)

Для полного описания ОУ необходимо добавить уравнение, устанавливающее связь между переменными состояния и выходными переменными, которое также представляются в векторной форме:

(15)

Если ввести следующие обозначения

то системы (14) и (15) можно записать в виде: (16)

Если матрицы A и B зависят от t, то систему называют нестационарной,

если не зависят - стационарной.

Вектор X(t) называют фазовым вектором, или вектором переменных состояния. Координаты

x₁, x₂,…, x_n называют фазовыми координатами, или координатами состояния (рис. 2.9).

Множество векторов X(t_ф) называют пространством состояний (ПС). Полную информацию об ОУ или системе в целом можно получить из системы уравнений (16), где - вектор состояния системы (n1), это вектор регулируемых величин и их производных, - вектор управления, - вектор, характеризующий выходные измеряемые переменные системы (вектор выхода), А - матрица (nn) объекта/системы, В - матрица управления/входа (nm), С - матрица выхода (rn), D - матрица компенсации (на схеме ее нет). Эти матрицы имеют постоянные для стационарных САР или переменные для нестационарных САР коэффициенты.

Переменные состояния классифицируются на три группы:

1) технически доступные для измерения – параметры системы, которые могут быть непосредственно измерены с помощью соответствующих измерительных устройств;

2) труднодоступные для измерения – измерение параметров возможно лишь технически сложными и дорогими устройствами, поэтому их измерение экономически нецелесообразно;

3) технически недоступные для измерения – параметры не могут быть измерены, т.к. соответствующие технические средства для их измерения вообще отсутствуют.

Следует отметить, что ПС, недоступные для непосредственного измерения, могут быть оценены (определены) косвенно с помощью специального устройства, называемого наблюдающим устройством. Оно идентифицирует (определяет) вектор состояния САР, непосредственно измеряя лишь часть ПС вектора X(t) (остальные оцениваются косвенно, например, путем вычислений).

При неполной информации о векторе состояния системы свободное управление корнями системы невозможно. Применение же наблюдающего устройства при условии измерения определенной части компонент вектора X(t) позволяет восстановить весь вектор, что означает возможность синтезировать САР в соответствии с заданным техническим заданием (ТЗ).

Таким образом, управление многомерным ОУ осуществляется посредством многомерной системы управления с несколькими управляющими и несколькими управляемыми величинами. Процессы в такой системе описываются не одним, а совокупностью ДУ.

Примером такой системы может служить СУ самолетом, управляемыми величинами которого являются высота и скорость полета, курсовой угол, угол тангажа, угол крена. Указанные величины являются взаимозависимыми, т.е. изменение одной из названных величин влечет за собой изменение других. Вследствие этого система управления самолетом является многомерной и ее нельзя рассматривать как простую совокупность одномерных систем.

На основе системы уравнений (**) легко построить структурную схему многомерного ОУ (рис. 2.10), аналогично можно построить структурную схему САР в целом.

Введем следующие пояснения. С помощью вектора U(t) осуществляется управление объектом. Вектор Х(t) характеризует состояние ОУ в фазовых координатах x₁, x₂,…, x_n. Поведение и свойства системы полностью характеризуются понятием состояния, которому соответствует точка в пространстве Rⁿ.

Если система описывается векторно-матричным уравнением в нормальной форме Коши, то размерность пространства состояний равна порядку указанной системы. Координатами пространства состояний являются переменные системы, записанной в нормальной форме Коши, т.е. переменные x₁, x₂,…, x_n.

Поведение системы (ее движение) характеризуется фазовой траекторией, которая определяет изменение координат системы во времени. Каждая конкретная точка на фазовой траектории характеризует состояние системы при t = t_ф. Фазовая траектория полностью определяет состояние системы в пространстве Rⁿ и во времени.

Траектория состояний системы в течение времени - это геометрическое место точек конца вектора состояния Х(t) в пространстве состояний Rⁿ, параметрически определяемых временем . Траектория состояний однозначна на интервале для заданного на этом интервале входного сигнала U(t) / G(t).

Фазовым пространством скалярной системы n-го порядка с переменной на выходе x(t) называют n-мерное пространство состояний, координаты которого представляют собой производные по времени Число координат пространства состояний равно порядку системы уравнений в форме Коши.

Координаты x_i вектора состояния – это часто абстрактные величины, лишенные физического смысла. Они необязательно соответствуют (но могут и соответствовать) реальным физическим величинам процессов, действующих в системе. Многие из них вводятся искусственно путем некоторых преобразований. Вектор состояний Х(t) образуется с помощью компонент x_i(t), выбранных так и в таком количестве, что если известно их значение X(t_ф) при t=t_ф, где t_ф – фиксированный момент времени, то при заданном значении вектора входа U(t) / G(t) для вектор выхода может быть определен однозначно.

Ясно, что фазовую траекторию Х(t) можно получить с помощью системы ДУ в форме Коши, описывающей поведение исследуемой САР.

Уравнения состояния не единственны. Функции же доступны наблюдению (измерению). Это реальные выходные сигналы, которые можно наблюдать (измерить).

При решении вопросов проектирования систем (в том числе синтеза регулятора, например, в задаче стабилизации объекта) необходимо иметь информацию о состоянии системы в каждый момент времени. Эта задача решается с помощью наблюдающего устройства. Оно анализирует выходной векторный сигнал (который, как уже говорилось, можно измерить) и позволяет получить приближенное значение (оценку) вектор-функции . Некоторые координаты состояния можно измерить, другие же представляют собой линейные комбинации выходных сигналов, и, следовательно, их можно рассчитать.

Система, у которой по вектор-функции можно с помощью специальных наблюдающих устройств восстановить вектор (в общем случае размерность больше размерности ), называется полностью наблюдаемой.

Вопросы проектирования наблюдающих устройств изучает специальный раздел ТАР.

Введенные выше понятия проиллюстрируем на примере одномерной (скалярной) системы управления, которая описывается скалярным ДУ: (17)

Получим векторно-матричное уравнение в нормальной форме Коши, эквивалентное скалярному уравнению (17). Введем в рассмотрение следующие переменные

(18) которые можно переписать в виде (19) тогда получим

(20)

С учетом выражений (18-20) можно записать (21)

или в матричной форме (22)

Матрица А имеет форму, предложенную Фробениусом, и поэтому называют матрицей Фробениуса, или матрицей сопровождения. Для нее характерно следующее: элементы над главной диагональю равны единице, элементы нижней строки являются коэффициентами ДУ, все остальные элементы являются нулями. Таким образом, от скалярного уравнения n-го порядка путем замены переменных перешли к нормальной форме Коши, где

(23)

Выходом системы является скалярный сигнал x(t). Поэтому матрица С имеет вид С=(1 0 0 0 …0).

Тогда