2.3. Уравнения сар в переменных типа “вход-выход”
При описании работы САР часто пользую понятия входа и выхода системы/элемента, т.е. имеются в виду задающее или возмущающее воздействия как внешние входы системы, а регулируемая величина как ее выход, для ОУ это управляющее и возмущающее воздействия и регулируемая величина (рис. 2.5).
Уравнение замкнутой системы в этом случае характеризует связь между входной и выходной величинами. Если это ДУ, то оно записывается в следующем виде:
где x(t) - регулируемая величина, g(t) - задающее воздействие, f(t) - возмущающее воздействие. Если рассматривается линейная САР, для которой справедлив принцип суперпозиции, то можно записать отдельно уравнения для каждого входа:
Если
ввести в рассмотрение оператор
дифференцирования
,
то данное уравнение примет вид:
Преобразуем это алгебраическое выражение (вынесем за скобки переменные x(t), g(t), f(t))
,
или,
записав его в операторной форме, получим:
.
Но
такие уравнения не всегда удается
получить, т.к. часто эта связь
получается
в неявном
виде, т.е. в
виде соотношений следующего вида:
.
В ТАР рассматривают два вида уравнений, характеризующих САР и ее элементы: уравнения статики и уравнения динамики.
Уравнения статики – характеризуют взаимосвязь переменных при неизменных воздействиях (в установившемся режиме). Это уравнения равновесия системы - в них возмущающие воздействия, а также величина нагрузки предполагаются постоянными. Такие уравнения, как правило, алгебраические; часто они являются линейными или могут быть линеаризованы.
В ТАР обычно рассматриваются малые отклонения переменных от положения равновесия. При больших отклонениях уравнения статики являются нелинейными.
Геометрической интерпретацией уравнений статики являются статические характеристики, которые могут быть получены экспериментально.
Уравнения статики могут быть получены из уравнений динамики, если в последних положить все производные равными 0. Они могут быть получены также из уравнений статики элементов путем исключения промежуточных переменных при их совместном решении.
Уравнения динамики – характеризуют взаимосвязь переменных при изменяющихся воздействиях, т.е. в переходном режиме. Они отражают характер протекания процессов и соответствуют тем или иным физическим законам (сохранения энергии, вещества, Ньютона и т.д.). Они могут быть линейными с постоянными или переменными коэффициентами, интегро-дифференциальными, разностными и др.
Любая САР состоит из связанных между собой элементов. Поэтому ее ДУ можно получить, составляя уравнения отдельных элементов, затем объединить их, исключив промежуточные переменные.
Рассмотрим более крупные составные части САР (ОУ и регулятор Р), общее уравнение САР можно получить из системы уравнений ОУ и Р (рис. 2.6).
Состояние
ОУ
характеризуют
регулируемой
величиной, управляющим
воздействием и возмущением.
Эту зависимость можно представить виде:
(производные берутся по времени) или
в неявном
виде
Состояние регулятора характеризуют регулирующим и задающим воздействиями, вследствие этого процессы в регуляторе будут описываться двумя уравнениями:
Взаимосвязь
между ОУ и регулятором характеризует
уравнение, называемое уравнением
ошибки
(связи,
замыкания)
Система уравнений (7) - (9) полностью описывает процессы в САР. Если в этих уравнениях исключить промежуточные переменные u(t) и (t), то получим ДУ САР:
которое оценивает состояние системы во времени, определяет переходные процессы в системе и обычно называют уравнением динамики САР.
ДУ (10) может быть как линейным, так и нелинейным. Нелинейные ДУ вносят значительные затруднения в решение задач, особенно в тех случаях, когда они имеют высокий порядок. Поэтому очень часто стараются заменить в первом приближении нелинейное ДУ линейным, анализ которых выполняется значительно проще. Методика выполнения такой замены называется линеаризацией. Рассмотрим уравнения САР и ее составных частей в операторной форме (рис. 2.7).
Уравнение ОУ: D(p)x(t)= M(p) f(t)+C(p)u(t) (11)
Уравнение регулятора: B(p)u(t)= N(p) (t) (12)
Уравнение ошибки (связи, замыкания): (t) = g(t) -x(t) (13)