§ 3.2. Частные задачи синтеза оптимальной структуры ас

Сложность синтеза оптимальной структуры АС    приводит к тому,  что на практике ставят и решают еще более частные зада­чи синтеза, такие, например, как оптимальное, распределение возлагаемых на АС    функций по заданным уровням и углам системы, определение оптимальной реализации функций в АС ,  выбор комп­лекса технических средств, обеспечивающего качественную реали­зацию функций и т.д.

Рассмотрим некоторые частные постановки задач формализо­ванного распределения множества решаемых задач между узлами АСУ при различных критериях и ограничениях. 

§ 3.2.1 Частные критерии оптимизации.

а) Минимизация затрат не реализацию задач в АС.

(3.2.1)

где ‑ множество задач, реализуемых в АСУ,

- множество обслуживающих узлов системы управления,

W_ij ‑  затраты на реализацию i-й задачи в j-м узлe,

Кроме того, пусть ;x_{i j} = 1, если i-я задача выполняется в j-м узле и  x_{i j} = 0  в противном случае.

б) Минимизация общего времени решения всех задач АС

(3.2.2)

где t_ij - время решения i-й задачи в j -м  узле.

в) Минимизация максимального времени решения задач в АС

(3.2.3)

Возможна оптимизация по более сложным критериям,  включающим (3.2.1) ‑ (3.2.3), а также использование критериев более общего типа, таких как получение максимальной прибыли, обеспечение требуемого времени, готовность системы и т.д.

§ 3.2.2. Ограничения в частных задачах синтеза.

а) На связи меж­ду задачами, т.е. задан граф

(3.2.4)

б) На связи между           узлами, т.е. задан граф

(3.2.5)

в) На общие затраты на реализацию задач в AС

(3.2.6)

г) На затраты на реализацию задач в узлах

(3.2.7)

д) На загрузку каждого узла

(3.2.8)

где λ_i - интенсивность поступления i-й  задачи на решение. Возможны дополнительные требования к равномерности загрузки узлов.

е) На общее время решения всех задач

(3.2.9)

ж) На время решения отдельных задач

(3.2.10)

§ 3.2.3. Первая частная задача синтеза оптимальной структуры ас.

Необходимо так распределить i задач междуj узлами , чтобы обеспечить минимум общих затрат (3.2.1) или минимум общего времени решения (3.2.2) при исполнении огра­ничений на загрузку каждого из узлов (3.2.8), или на затраты в каждомj -м узле (3.2.7).

Математическая модель этой задачи может быть записана сле­дующим образом: найти

(3.2.11)

при

	(3.2.12)
	(3.2.13)

В этих соотношениях:

a_ij - затраты (время решения) i-й задачи в j-м узле;

b_i - допустимые затраты (загрузка) в j-м узле;

x_ij - переменная, равная 1, если i-я задача решается в j-м узле, и равная 0 - в противном случае.

Условие (3.2.13) означает, что каждая задача должна решать­ся только в одном узле.

Наиболее удобным для решения данного класса задач является метод "ветвей и границ". Применительно к данной задаче он за­ключается в направленном движении по вершинам дерева, получен­ного путем фиксирования части переменных x_ij, (x_ij = {0, 1}).

Вершины первого уровня получают, поочередно закрепляя пер­вую задача за первым узлом, вторым и т.д., т.е. фиксируя дляj  = 1, 2, 3, … при i = 1.

Вершины второго уровня получают, фиксируя дляj = 1, 2, 3, … при i = 2 и т.д. Для каждой вершины находят оценку

(3.2.14)

где i* ‑ число рассмотренных уровней ветвления;

Стратегия ветвления может быть улучшена за счет использо­вания специфических свойств рассматриваемой задачи, что сущест­венно при решении задач большой размерности.

Вначале из матрицы коэффициентов системы (3.2.11) ис­ключаем все элементы, для которых выполняется условиеa_ij > b_j, . При этом для любой строчки возможны следующие варианты:

–        исключены все элементы а_ij, тогда решение отсутствует;

–        остался лишь один элемент a_ij, он обязательно входит в оптимальное решение, если оно существует. Значение b_j заме­няется на b_ij ‑ а_ij и этот элемент в дальнейшем поиске не участвует;

–        осталось несколько элементов, они участвуют в дальней­шем поиске оптимального решения.