2.2.3. Методы расчета фильтров на основе анализа передаточных функций

В практических приложениях для расчета активных фильтров широко используют амплитудно-частотные (АЧХ) и фазо-частотные характеристики (ФЧХ) фильтров. Причем аппроксимация их характеристик сводится к выбору таких коэффициентов полиномов передаточных функций, которые в том или ином смысле обеспечивают приближение к желаемым АЧХ и ФЧХ. В фильтре Баттерворта нормированная АЧХ имеет вид

,

где w=ω /ω_С - относительная (безразмерная) частота; ω_С - частота среза; n - порядок фильтра.

Все производные функции 2.9 от первой до 2n-1^-й включительно в точке W=0 - равны нулю. Поэтому фильтр Баттерворта называют фильтром с максимально плоской АЧХ.

В фильтре Чебышева аппроксимирующая функция выбирается так, чтобы в полосе пропускании фильтра получить отклонение его АЧХ от идеальной не превышающее некоторой заданной величины. За пределами полосы пропускания фильтр должен иметь возможно меньший коэффициент передачи. При таких исходных условиях наилучшей оказывается аппроксимация вида

,

где ε - некоторый постоянный коэффициент, определяющий неравномерность АЧХ фильтра в полосе пропускания, а Т_n - полином Чебышева первого рода n-ого порядка. В полосе пропускания квадрат АЧХ |А(w)|² фильтра Чебышева колеблется между уровнями , причем число таких колебаний тем больше, чем выше порядок фильтра. Амплитуда этих колебаний одинакова.

В инверсном фильтре Чебышева АЧХ монотонно изменяется в полосе пропускания и пульсирует в полосе заграждения. Для этого фильтра

.

В полосе заграждения |А(ω)|² пульсирует в диапазоне [0…ε²/(1+ε²)].

В общем виде передаточные функции фильтров могут быть разложены на сомножители 2-го и 1-го порядка. В случае четного n передаточная функция фильтров низких частот, так называемых полиноминальных фильтров - Баттерворта, Чебышева, Бесселя, имеет вид

. (2.10)

Инверсный фильтр Чебышева и эллиптический фильтр, которые относят к неполиноминальным фильтрам для фильтров нижних частот, имеют передаточные функции вида

. (2.11)

В табл. 2.2 даны коэффициенты a_i b_i c_i для наиболее распространенных практических схем.

Таблица 2.2

Таблица расчетных коэффициентов

Порядок фильтра	2	4		6
номер звена	1	1	2	1	2	3
Фильтр Бат- b терворта с	1,4142 1,0000	0,7654 1,0000	1,8478 1,0000	0,5176 1,0000	1.4142 1,0000	1,9319 1,0000
Фильтр Че- b бышева с q1=0,5дБ	1,4256 1,5162	0,3507 1,0635	0,8467 0,3564	0,1553 1,0230	0,1243 0,5900	0,5796 0,1570
Фильтр Че- b бышева с q1=1дБ	1,0977 1,1025	0,2791 0,9865	0,6737 0,2794	0,1244 0,9907	0,3398 0,5577	0,4641 0,1247
Фильтр Че- b бышева с q1=2дБ	0,8038 0,8231	0,2098 0,9287	0,5064 0,2216	0,0939 0,9660	0,2567 0,5329	0,3506 0,0999
Инверсный а Фильтр Че- b бышева с q2=-c 40дБ	100,99 1,4141 1,5214	4,7485 0,6892 0,4478	27,676 2,0315 1,0514	2,1487 0,3791 0,3176	4,0094 1,3338 0,7965	29,927 2,5582 1,0142
Эллипти- а ческий b фильтр с q1=2дБ q2=-40дБ	65,875 0,7987 0,8293	2,2207 0,5545 0,2991	10,214 0,1518 0,9598	1,5696 0,4905 0,2315	7,6393 0,1704 0,7759	1,1786 0,0317 0,9905
Фильтр Бес- а селя b	3,0000 3,0000	5,7924 9,1401	4,2076 11,488	5,0319 26,514	8,4967 18,801	7,4714 20,853

В таблице q₁ - уровень минимумов пульсации АЧХ в полосе пропускания (уровень максимумов принят за 0дб); q₂ - уровень максимумов пульсации АЧХ в полосе заграждения (между этими максимумами АЧХ спадает до нуля). Уровень -40 дБ соответствует 1%. Коэффициенты a_i b_i с_i;, приведенные в табл.2.2, рассчитаны так, что на частоте ω_СР АЧХ фильтров Баттерворта и инверсного фильтра Чебышева имеют спад около -ЗдБ (уменьшаются до уровня ). Для фильтров Чебышева и эллипти­ческого фильтра АЧХ в полисе пропускания пульсируют между уровнями 1/(10^q1/20) и 1.

Для фильтра типа Саллена-Кея (см.рис.2.14а) передаточная функция

имеет вид

. (2.12)

Для фильтра, изображенного на рис.2.17 и называемого структурой Рауха

(2.13)

Если сравнивать выражения (2.12) и (2.13) с выражениями (2.10) и (2.11), можно сделать вывод о том, что схемы, представленные на рис. 2.14 и 2.17 пригодны лишь для реализации полиноминальных фильтров (Баттерворта, Чебышева и Бесселя).

Рис. 2.17. Фильтр со структурой Рауха

Б олее универсальным фильтром является биквадратный фильтр, один из вариантов, схемы которого приведен на рис.2.18. Для этой схемы

(2.14)

(2.15)

Рис. 2.18. Вариант биквадратного фильтра

Если принять R₁R₃=R₂R₇, то для (2.14) в качестве U_Вых1 можно использовать выходное напряжение звена эллиптического фильтра или инверсного фильтра Чебышева. Если же R₇=R₈=∞, то для (2.15) U_Вых2 соответствует звену второго порядка.

Биквадратный фильтр менее чувствителен к неточности элементов и проще в настройке. Сопоставляя приведенные формулы нетрудно вывести формулы для расчета сопротивлений и емкостей звеньев второго порядка.

Исходными данными являются частота среза фильтра f_с=ω_с/(2π) и коэффициент усиления звена в полосе пропускания - А. Расчет начинается с выбора емкости С₁, причем рекомендуется C₁≈10/f_c (мкф), где f_c -частота среза в Герцах.

Для схемы рис.2.14a определяются С₂, R₁ и R₂, (значения а,b,с берутся из таблицы 2.2):

1. C₂≤[A–1+b²/(4c)]C₁;

2.

3. .

Если А=1, то R_A=∞; R_D=0; если А>1, то R_А=A(R₁+R₂ )/(А-1); R_B=A(R₁+R₂).

Для схемы, изображенной на рис 2.17 порядок расчета иной:

l. C₁~10/f_C

2. C₂≤b2C1/[4c(|A|+1)].

3.

4.R₂=R₂/|A| .

5. R₃=l/[cC₁C₂(2πf_c)²·R₂].

Для биквадратного полиноминального фильтра (см.рис.2.18) с выходным напряжением U_Bыx2: R₇= ∞; R₈=∞; С₁=10/f_c(мкф); С₂=С₁; R₄=l/(2πf_cC₁); R₃=R₄=R₅; R₁=R₄/(Ac); R₂=R₄/b; R₆=R₄/c.

Для биквадратного неполиноминального фильтра с выходным напряжением U_Вых1;

C₁=10/f_С; C₂=C₁; R₁=a/(Abc2πf_cC₁); R₂=l/(b2πf_cC₁); R₄=R₃;

R₃=l/2πf_cC₁; R₅=C₁R₆/C; R₆=1/(2π f_CC₁,√c); R₇=aR₃/(Ac);

R₈ = l/(2π f_cC₂√c).

Передаточные функции фильтров верхних частот ФВЧ можно получить, воспользовавшись выражениями (2.10) и (2.11), если произвести замену p на ω²/p. Для неполиноминальных ФВЧ характер передаточной функции сохраняется, изменяются лишь её коэффициенты. Таким образом, можно пользоваться теми же схемами, но с другими сопротивлениями и емкостями.

Для полиноминальных ФВЧ меняется характер передаточных функций. Во всех случаях параметры ФВЧ могут быть рассчитаны по данным табл 2.2 на заданной частоте среза f_c=ω_с/(2π).