Практическое занятие 11. Расчет осредненных относительных фазовых проницаемостей.

Цель работы: Определение осредненных относительных фазовых проницаемостей

Пусть слоистая неоднородность пласта по абсолютной проницаемости задана некоторым законом распределения случайных чисел f (к). Абсолютная проницаемость меняется от 0 до ∞. Рассмотрим вертикальный разрез пласта, из которого вытеснение нефти осуществляется водой.

Мысленно переупакуем слои по вертикали в порядке убывания их проницаемости снизу вверх, т.е. слой с самой большой проницаемостью расположим внизу, а с самой низкой проницаемостью - вверху.

Принимается, что перетоки жидкости между отдельными слоями отсутствуют, вытеснение поршневое. Закачка воды производится при з д нном перепаде давлений P(t).

Рассмотрим некоторое поперечное сечение пласта А-А в мом нт времени t.

Отметим в нем проницаемость самого верхнего обводненного прослоя через к₀.

• сечении А-А по всем слоям с проницаемостью к> ко - течет вода, а в слоях с проницаемостью к < ко - течет нефть.

Задача 14. Слоисто-неоднородный по толщине пласт отличается еще и

• м, что абсолютная проницаемость каждого может изменяться по простиранию. Отдельные прослой могут замещаться в пространстве прослоями с иной проницаемостью, так что проницаемость прослоев изменяется не только по толщине, но и по длине. Однако при построении модели данного пласта ока-зывается возможным выделить «элементарный объем» прямолинейного пласта длиной  х, общей толщиной h и шириной b (рис. 5), состоящей из набора пропластков с абсолютной проницаемостью, распределение которой подчиняется определенному вероятностностатистическому закону.

54

Требуется для данной модели пласта определить модифицированные относительные проницаемости для нефти и воды, принимая, что вода, вытесняющая нефть из элемента пласта, входит в пропластки начиная с пропластка с самой большой проницаемостью. Так как ^x мало по сравнению с размерами пласта в целом, можно считать, что вода последовательно и мгновенно заполняет каждый пропласток. Вытеснение нефти водой из каждого пропластка — поршневое. При этом остаточная нефтенасыщенность изменяется в зависимости от абсолютной проницаемости прослоев следующим образом:

_{Sн ост=} 0.68e^{k / 2k} _.

Содержание связанной воды также зависит от абсолютной про-ницаемости отдельных прослоев пласта и определяется по формуле

_Sсв= 0.32e^{k / 2k}

Принимается в виде гипотезы, что фазовая проницаемость для воды в каждом из прослоев зависит от абсолютной проница мости остаточной нефтенасыщенности и насыщенности связанной в д й следующим образом:

k_в  k(1  S_ност  S_cв )

Абсолютная проницаемость слоев неоднородного пласта в его элементарном объеме длиной ^x соответствует гамма-распределению при

•  2 _.

Решение. Расположим слои пласта таким образом, чтобы слой с самой

высокой абсолютной проницаемостью ( ^{k } ) находился в нижней части элемента пласта, а слой с наименьшей проницаемостью (к = 0) — в верхней. Проницаемость слоев непрерывно возрастает снизу вверх. В соответствии с условием задачи вода мг овенно вытесняет нефть из обводнившегося прослоя. Таким образом, в какой-то момент времлени оказывается, что из слоев с

суммарной т лщин й ^h произошло вытеснение нефти и в них фильтруется только вода. В этих слоях осталась, в соответствии с моделью поршневого

вытеснения, неизвлекаемая нефть с остаточной нефтенасыщенностью ^Sност . В остальных же слоях содержатся нефть и связанная вода.

• соответствии с предположением о последовательном мгновенном обводнении слоев, начиная со слоя с самой высокой проницаемостью, расход

воды ^qв поступающей в слой элемента пласта толщиной ^h , определяется следующим образом:

_{qв } ^kв^bhp _ ^{k(1 S}ност ^{ S}св^)bhp _.

_вx _вх

55

Если бы слой был полностью водонасыщенным (нефтенасыщенность равна нулю), то расход воды, фильтрующейся через этот слой пласта, составил

_q^kbph

_в _в х

Однако если в некоторый момент времени обводнены слои с суммарной

толщиной ^h , то расход воды, поступающей в эти слои, будет выражаться интегралом;

h

• _{в х} ₀ ^{k(1 S}ност ^{ S}св ^)dh.

• случае полностью водонасыщенного пласта^qвbp

bp ^h

^{qв } _{в х} ₀ ^kdh.

Определим модифицированную относительную проницаемость пласта для воды

q

h



 Sност  Sсв )dh

k(1



в



0

.

k

в

h

qв

kdh

0

Учитывая

вероятностно -стат ст ческое распределение абсолютной

проницаемости, т. е. полагая dh = hf (k) dk, из предыдущих формул имеем;



• (1  S_ност  S_cв )kf ( k ) dk

kв 	k*
		
		 kf (k)dk	(*)
		0
где k*		— проницаемость обводнившегося в данный момент времени

слоя.

Счи ае ся, что в необводненной части элемента пласта происходит фильтрация только нефти, поступающей из соседнего элемента. Поэтому

			h			bpkdh		bh	k*
q	н								kf (k)dk
									*
						н х		н х 0
				h

Если бы в элементе пласта фильтровалась только нефть, то было бы;

bp ^

^qн ^ _{н х} ₀ ^{kf (k)dk}

56

Аналогично ^kв получаем формулу для модифицированной от-носительной проницаемости для нефти ^kí . Имеем

^к_^* kf (k)dk

k_н  _⁰ .

• kf (k)dk

0 (**)

Для гамма-распределения интеграл, стоящий в знаменателе формул (*) и

(**), известен. Он равен ^{2 k} при ^{  2} . Таким образом, необходимо вычислить интегралы, содержащиеся в числителе формул (*) и (**).

Обозначим в рассматриваемом случае гамма-распр д л ния при ^{  2}

	
			 k 2ek / k
J1 		kf (k)dk 		k 2					dk.
	k*		k*

Интегрируя это выражение по частям, получаем

J₁  ke^k*^{k }_(^k_k^* )²  2(^k_k^* )  2^_.

 

Возьмем интеграл, содержащ йся в числителе формулы (**). Имеем

k*

k*

2

kk





2



J



kf (k)dk 



k

e

dk  k



 e

k

h

 k

*



 k



.

2





2

*





 2

*



 2

k 2



k





k 



0

0











Вычислим интегр л, содержащийся в числителе формулы (*), с учетом зависимостей ^Sност и ^Sñâ от проницаемости, данных в условии задачи. Имеем



k*

1 (0.68  0.32)ek 2k 

k

2

e

k / k



k

2

e

kk



k

2

e

1.5kk

(1 Sност  Sсв )kf (k)dk  

dk  (1 ek 2k )

dk  J1  

dk 

2

2

2

k

k

k

k*

0

k*

k*

1.5k

2

1.5k





k



 J

1



e 1.5k*k 

*



 2

*



 2.

3

(1.5)



k





k









Та им образом, для модифицированной относительной проницаемости для воды по формуле (*) имеем выражение

k



1

 k



2

k



1



1

1.5k



2

1.5k



kв  e

k

*

e

1.5k k

*





*





1



*





*





*

1.

1.53

2

k

2

k

k





k 



















Соответственно модифицированная относительная проницаемость для нефти

k



1

 k

2

k



kв  1 e

k

*





*





1

2

k 

k











57

Необходимо получить выражение для модифицированной

водонасыщенности элемента пласта ^S . Вода в элем нте пласта содержится в виде связанной воды и воды, заполнившей обводнившиеся пропластки.

Поровый объем ^Vв рассматриваемого элемента пласта составит

V_в  mbhx.

Объем связанной воды в нео воднившихся пропластках выражается следующим образом:

h

h*

Vсв  mbhxScв dh  mbh  x Sсв f (k)dk.

h

0

Для объема воды Vâ в обводнившихся слоях имеем выражение

k*

Vв  mbhx(1 S ост ) f (k)dk.

0

Полный бъем воды в элементе пласта

k*











Vв

 mbhx

Sсв f (k)dk 

1 Sност f (k)dk

 mbhxSсв f (k)dk  

(1 Sност  Sсв ) f (k)dk





0

k



0

k





*





*





0.32



kekk



0.32



k

*

1



1.5k



 mbhx

 (1 ek 2k )

dk

 mbhx

 e

k*k (1

) 

e 1.5k*k (1



*

).

2

2

2

2

1.5

k

1.5

1.5

k



k





k





*



Имеем, наконец,

V

k

k



1.5k





 0,142  e

k

(1

)  0.444e

1.5k k



в

*

*

1

*

.

Vв

k



k



58

Рисунок 20. Зависимости фазовых проницаемостей от водонасыщенности

Чтобы получить зависимости k_H = k_B (s) и k_B = k_B (s), необходимо, задаваясь значением ^k* , изменяющимся от 0 до ^ , определять ^S и при этом

_{же значении} ^k*,kí _и ^kв _.

Зависимости модифицированных относительных проницаемостей,

вычисленных по формулам, от ^S приведены на рис. 20. Как видно, модифицированная насыщенность пласта связанной водой, соответствующая

^k* ^ , ^Sсв ^{ 0,142} . При полном же обводнении пласта, соответствующем

k*  0,

 0.698.

S

Соответственно относительные

проницаемости

для воды и нефти

kв  0,kн  1

при

k

*



и

k

в

 0,704, k

в

 0

при

k

*

 0

.

Следует отметить, что

кривая модифицированной проницаемости для воды ^kв ^{ k}в ^{(S )} возрастает монотонно с увеличением ^S и является вогнутой к си абсцисс.

Задача 15. Требуется построить кр вые модифицированных относительных проницаемостей для с оисто-неоднородного пласта,

характеризующегося гамма-распределением при ^{  2} , если

S_св  0,2e^{k 2k} , S_ност  0,8e ^{ k 2 k} , k_в  k(1 S_ност  S_св )

59