2. Диференційне рівняння Ейлера рівноваги рідини.

В нерухомій рідині довільно візьмемо точку М з координатами х, у, z і тиском р. система координат зв‘язана з посудиною. Виділимо в об‘ємі рідини елементарний об‘єм у виді прямокутного паралелепіпеда з ребрами dx, dy, dz.

z

y

0

Рисунок 2.2-Визначення тиску в елементарному об‘ємі рідини, що знаходиться у спокої.

Розклавши силу гідравлічного тиску Р на складові і розділивши на масу m, знайдемо проекції прискорень уздовж осей:

; ; (2)

Тиск Р є функцією ординат x, y, z. Нехай в точці М тиск становить Р. При переході до точки N змінюється координата х на безкінечно малу величину dx і функція Р отримує приріст - градієнт тиску у напрямку осі х. Тому тиск у точці N

(3)

Різниця між тисками складає:

(4)

Тому на грані паралелепіпеда у напрямку осей x, y, z діють різниці тисків:

(5)

Оскільки розглядаються лише масові сили і сили тиску, то рівняння рівноваги паралелепіпеда запишеться у виді:

(6)

Розділимо рівняння на масу pdxdydz і стягнемо паралелепіпед у точку М перейшовши до границь: dx 0, dy 0, dz 0. Тоді для точки М запишемо диференційне рівняння Ейлера (1755 р)

(7)

3. Інтегрування рівняння Ейлера.

Помноживши перше рівняння системи на dx, друге-на dy, третє-на dz, і склавши їх отримаємо еквівалентне рівняння:

(8)

Оскільки в дужках утворився повний диференціал dp,маємо:

(9)

Вважаючи густину величиною постійною, маємо інтегральний вираз:

(10)

Для випадку, коли на рідину діє тільки сила тяжіння по осі z з прискоренням Z=-g

(11)

Після інтегрування маємо:

(12)

4. Основне рівняння гідростатики.

Поверхні рівного тиску - геометричне місце точок рідини, що мають однаковий тиск p=const; dp=0.

Вільна поверхня – границя розділу рідини і газу (повітря, пару і т.п.), коли рідина займає частину об‘єму посудини.

Знайдемо постійну інтегрування з рівняння (12) для вільної поверхні, тобто z=z₀, p=p₀

(13)

0

z

x

y

Рисунок 2.3 – Схема для виводу основного рівняння гідростатики.

p₀ – зовнішній тиск;

z – координата (відмітка) точки вимірювання;

x0y – площина порівняння.

Таким чином: (14)

Звідки: (15)

Позначивши: , де h – глибина занурення, маємо:

(16)

де - ваговий тиск.

Рівняння (16) є основним рівнянням гідростатики. З нього слідує:

• Зовнішній тиск на граничну поверхню рідини, що знаходиться у спокої, передається однаково в усі точки всередині рідини (закон Паска ля).

• При рівновазі рідини під дією сили тяжіння поверхня рівного тиску є горизонтальною площиною.

Надлишковий тиск – перевищення повного гідростатичного тиску над атмосферним:

(17)

Для відкритої посудини:

Вакуум – різниця між атмосферним і гідростатичним тиском:

(18)

5. Прилади для вимірювання тиску.

Прилади для вимірювання тиску по конструкції можуть бути: рідинними (барометри, п‘єзометр, манометр, вакуумметр, дифманометр, рис.2.4), механічними (пружинні, мембранні, сильфонні манометри і мано вакуумметри), електричними.

Барометр (рис.2.4,а) складається з відкритої чашки, заповненою ртуттю, та зі скляної трубки, верхній кінець якої запаяний, а нижній опущений в чашку під рівень ртуті. У верхній частині трубки повітря нема, тому в ній діє тиск насиченої пари ртуті . При 20^о С Па. Значення атмосферного тиску обчислюють за формулою:

(19)

де - питома маса ртуті,

- поправка на капілярність, яку приймають (1/10⁵)

- внутрішній діаметр трубки.

П‘єзометр (рис.2.4,б) – це прилад для вимірювання невеликого тиску в рідині за допомогою висоти стовпа цієї ж рідини. Він складається з вертикальної скляної трубки, верхній кінець якої відкритий і сполучений з атмосферою, а нижній приєднаний до посудини, в якій вимірюють тиск . За основним рівнянням гідростатики.

(20)

Рідинний манометр (рис.2.4,г) – це U – подібна скляна трубка, у коліні якої міститься рідина, важча від тої, що заповнює посудину. Один кінець трубки приєднаний до посудини, другий відкритий. Тиск на вільній поверхні рідини обчислюють за формулою:

(21)

Де - відповідно питома маса робочої рідини (наприклад, ртуті) і рідини, що міститься в посудині.

Рідинний вакуумметр подібний до рідинного манометра(рис.2.4,д). Тиск на вільній поверхні рідини, якщо трубка приєднана вище від цієї поверхні, обчислюють за формулою:

(22)

Для вимірювання різниці тисків у двох точках використовують диференціальний манометр (рис.2.4,в). Це U – подібна трубка, заповнена робочою рідиною. Кожен з кінців трубки приєднаний до точок, між якими треба виміряти різницю тисків за формулою:

(23)

Рисунок 2.4 - Рідинні прилади для вимірювання тиску:

а) ртутний барометр, б) п'єзометр, в) дифманометр,

г) манометр, д) вакуумметр.

Для вимірювання тиску більше 0.02.....0.03 МПа користуються механічними манометрами.

Механічні манометри мають граничне значення шкали від 0,05 до 1000 МПа, клас точності - від 0,005 до 6,0.

Електричний манометр має чутливий елемент - мембрану. Рух мембрани передається повзуну потенціометра, який разом з покажчиком увімкнутий до електричної схеми.