Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 14.Линейные векторные протранства

14.Линейные векторные пространства: определение, аксиомы, примеры

Множество L мы называем линейным пространством, а его элементы-векторами, если:

1) задан закон (операция сложения), по которому любым двум элементам х и у из L сопоставляется элемент, называется их суммой и обозначаемый х+у

2)задан закон(операция умножения на число), по которому элементу х из L и числа А сопоставляется элемент из L, называемый произведением х на А и обозначаемый Ах.

3) для любых элементов х, у и z из L для любых чисел Аи Б выполнены следующие требования ( или аксиомы):

1)x+y=y+x

2) (x+y)+z=x+(y+z)

3) существует элемент 0 такой, что для каждого х из L выполнен равенство х+0=х

4) для каждого х существует элемент – х такой, что х+(-х)=0

5) α(x+y)=αx+αy

6) (α+β) x = αx+βx

7) α(βx)=(αβ)x

8) произведение любого элемента х на число 1 равно х, т.е. 1х=х

Примеры:

• Множество комплексных чисел по отношению к обычным операциям сложения и умножения на вещественной число представляет вещественное линейное пространство.

• Существует линейное пространство, состоящее из одного элемента .Такое пространство называется нулевым.