Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 19.Уравнение прямой

19. Векторное уравнение прямой. Уравнение прямой в каноническом и параметрическом виде. Угол между прямой и плоскостью. Прямая как линия пересечения двух плоскостей.

Векторное уравнение прямой

Положение прямой в пространстве определено, если задать точку Р₀( r₀ ) на прямой и вектор S, направляющий вектор прямой, т.е. вектор лежащий на прямой параллельно данной.

P( ⁻r ) ⁻P₀ P || ⁻S ⁻r = ⁻r₀ + ⁻P₀P

⁻P₀P = ⁻S t

⁻r = ⁻r₀ + ⁻St

Угол между прямой и плоскостью

∆ : Ax + By + Cz + D = 0

Прямая L: x–x₀/m = y-y₀/n = z-z₀/p

Пусть φ – угол между плоскостью и прямой.

Тогда θ – угол между ⁻n(A;B;C) и ⁻S(m;n;p).

Cos φ = ⁻n*⁻S / |⁻n|*|⁻S|

Найдем sin φ , если

, т.к.

Параметрическое и каноническое уравнения прямой

Вектор r декартовой системе координат:

¯r = (x; y; z) ¯r₀ = (x₀; y₀; z₀) ¯S = (m; n; p)

Если задан ортонормированный базис, то уравнение: ¯r = ¯r₀ + ¯St , перепишем как:

x ⁻i + y ⁻j + z ⁻k = x₀⁻i + y₀⁻j + z₀⁻k + (m ⁻i +n ⁻j + p ⁻k)t

            Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме (параметрическое уравнение прямой):

            Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

x-x₀/m = y-y₀/n = z-z₀/p (каноническое ур-е прямой)

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой принадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей А₁х+ В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х+ В₂у + С₂z + D₂ = 0 , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

А₁х+ В₁у + С₁z + D₁ = 0

А₂х+ В₂у + С₂z + D₂ = 0