Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 1.Множества

1. Множество и подмножество. Объединение, пересечение, разность, дополнение множеств. Декартово произведение множеств. Мощность множества.

Множество – совокупность, объединение некоторых объектов, которые называют элементами множества.

Заданные множества – множества, о элементах которых можно сказать, принадлежат они этому множеству или нет.

Конечные множества – содержат конечное число элементов.

Бесконечное множество – множество, содержащее бесконечное число элементов.

Пустое множество – не содержит ни одного элемента.

Числовое множество – множество, элементами которого являются числа.

Множество А называют подмножеством В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, обозначается «А с В»

Операции над множествами.

Объединение множеств – множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат или одному или другому множеству (А + В)

Пересечение множеств – множество, состоящее из элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В одновременно (А * В)

Разность множеств – это множество, состоящее из тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В (А / В)

Если В с А, то разность А / В называется дополнением множества В до множества А.

Декартово произведение множества.

Упорядоченная пара – два элемента, расположенные в определенном порядке (а, в)

Декартовым произведением двух непустых множеств А и В называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар вида (х,у), обозначается А*В.

Декартово умножение – операция, с помощью которой находится декартово произведение множеств.

Разбитие множества на классы – представление этого множества в виде объединения непустых попарно непересекающихся своих подмножеств.

Мощность множества.

Это обобщение на произвольные множества понятия «число элементов».

Взаимно однозначное соответствие – соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу 1-го множества соответствует 1 и только 1 элемент 2-го множества, а каждому элементу 2-го – 1 и только 1 элемент 1-го множества.

Эквивалентные множества – множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие (А~В)

Конечное множество – множество, которое не имеет собственное подмножество, эквивалентное ему самому.

Бесконечное множество – множество, которое имеет собственное подмножество, эквивалентное ему самому.

Счетное множество – множество, эквивалентное множеству натуральных чисел.

Т.1. Объединение конечного множества счетных множеств, является счетным множеством.

Т.2. Множество рациональных чисел является счетным множеством.

Т.З. Множество действительных чисел на отрезке [0;1] имеет мощность, большую мощности счетного множества. Такое множество называется несчетным.

Теорема Кантора.

Множество, элементами которого являются все подмножества некоторого множества А, имеет мощность, большую, чем мощность множества А.