Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 49.Приложения к формуле Тейлора

  49. Приложения формулы Тейлора к исследованию функции. Возрастание и убывание функции. Достаточное условие возрастания. Точки экстремума функции одной переменной. Достаточные условия экстремума. Выпуклость и вогнутость. Достаточное условие выпуклости. Точки перегиба. Достаточные условия точки перегиба. Асимптоты.

Возрастание и убывание функций

Теорема.

1). Если функция g(x), имеющая производную на отрезке [a,b], возрастает на этом отрезке, то gў(x) і 0 на [a,b].

2). Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в (a,b) и gў(x) > 0, то функция g(x) возрастает на отрезке [a,b].

  Максимум и минимум функций

Теорема. Если дифференцируемая функция y=g(x) имеет в точке x=x₁, максимум или минимум, то gў(x₁)=0.

Критические точки - значения аргумента, в которых производная обращается в 0 или терпит разрыв.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума) Пусть функция g(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x₁, и дифференцируема во всех точках интервала (кроме, м.б. x₁). Если при переходе слева направо через x₁ производная меняет знак с - на +, то при x₁ функция имеет минимум. (максимум - аналогично).

Теорема. Пусть при x=x₁ gў(x₁)=0, а вторая производная существует и непрерывна, тогда если g"(x₁) < 0, то при x=x₁ максимум, иначе g"(x₁) > 0 - минимум.

  Асимптоты

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой при удалении М в бесконечность стремится к 0.

Наклонные и вертикальные асимптоты.

Наклонные:

y=kx+b

k=

lim x®Ґ

f(x)/x

b=

lim x®Ґ

(f(x)-kx)

Выпуклые и вогнутые функции

Это важный класс унимодальных функций. Введем обозначение: x=(x₁,x₂,…,x_n)-n-мерный вектор.

Определение: Функция n мерных f(x), определенная на выпуклом множестве D, называется выпуклой функцией тогда и только тогда, когда для любых двух точек x⁽¹⁾ и x⁽²⁾ принадлежащих D, и любого числа L (0<=L<=1) выполняется неравенство: f(Lx⁽¹⁾ +(1-L)x⁽²⁾)<=Lf(x⁽¹⁾)+(1-L)f(x⁽²⁾).

Свойства выпуклых функций:

1.Хорда, соединяющая две любые точки кривой графика выпуклой функции, всегда проходит над (или выше) кривой в интервале между двумя этими точками.

2.Выпуклая функция лежит над своими касательными

3.Тангенс угла наклона касательной, или первая производная f(x), возрастает или по крайней мере не убывает при увеличении x.

4.Вторая производная f(x) всегда не отрицательна на рассматриваемом интервале.

5.Для выпуклой функции локальный минимум всегда является глобальным минимумом.

Вогнутая функция. Функция f(x₁,…,x_n) является вогнутой функцией на множестве D тогда и только тогда, когда –f(x) есть выпуклая функция на D.