Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 48.Разложение по формуле Маклорена

48. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.

I. т.к. , для , то формула Маклорена имеет вид .

На любом отрезке , где  в силу того, что: , т.е. , получаем следующую оценку следующего члена  

Полагая здесь x=r=1 имеем оценку погрешности приближенного вычисления числа e  

II. т.к. ,  то формула Маклорена имеет вид ; 

Здесь n – нечетное число x – в радианах.

Очевидно, что на любом отрезке  справедлива следующая оценка остаточного члена:  

III. Т.к. ; , то формула Маклорена имеет вид: ;

Здесь n – четное число на любом отрезке  имеет очевидно для остаточного члена оценку

IV. Т.к. , то формула Маклорена имеет вид:  где остаточный член имеет вид:  в форме Лагранжа. для значений  имеем оценку, переходя в к модулям: ; 

Для значений  можно доказать, что имеет место оценка:  

V. , где Т.к , то формула Маклорена имеет вид: ;  В частности когда  (натуральное число), то получаем формулу бинома Ньютона: .