Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 27.Метрическое пространство

27. Определение метрического пространства. Примеры. Множество Х называется метрическим пространством, если 2-ум любым элементам х и у сопоставимо действительное число. Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния d: M*M → R, где R обозначает множество вещественных чисел. Для любых точек x,y,z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

d(x,y) = 0 ↔ x=y (аксиома тождества).

d(x,y) = d(y,x) (аксиома симметрии).

d(x,y)≤d(x,y) + d(y,x) (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть d(x,y)≥0 (это вытекает из аксиомы треугольника при z = x) и расстояние от x до y такое же, как и от y до x.

Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y, а потом от y до z.

Примеры:

Дискретная метрика: , если x = y, и во всех остальных случаях.

Вещественные числа с функцией расстояния и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.

Манхеттенская, или городская метрика: координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния , в случае конечной размерности это называется пространством Минковского[1] (не надо путать с другим пространством Минковского).

Так называемая, французская железнодорожная метрика является примером, который нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.

Любое связное риманово многообразие M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

Множество вершин любого связного графа G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.

Множество компактных подмножеств K(M) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение: Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.