Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 22.Понятие линейного оператора

22. Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора в заданном базисе.

Пусть заданы линейные пространства X и Y. Правило, по которому  каждому элементу X принадлежит X ставится в соответствие единственный элемент У принадлежит У, называется оператором, действующим в линейных пространствах X,Y. Результат  действия оператора A на элемент X обозначают Y=Ax или Y=A(x). Если элементы X и Yсвязаны соотношением Y=Ax, то Y называют образом элемента X; элемент X-прообразом элемента Y.

Множество элементов линейного пространства X, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора и обозначают D(A).

Множество элементов линейного пространства Y, которые являются образами элементов из области определения  оператора A, называют образом оператора и обозначают Im(A). Если Y=Ax, то X принадлежит D(A), Y принадлежит Im(A).

Оператор A, действующий в линейных пространствах X,Y называется линейным оператором, если

A(u+v)=A(u) + A(v) и A(αu)=A(αu) для любых u, v принадлежащих X и для любого числа α.

Если пространства X и Y совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве X.

Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве A, dim(X)=n и пусть

e₁…e_n-базис в X. Обозначим через Ae₁ = (a₁₁,…,a_n₁),…, Ae_n = (a₁ _n,…,a_nn ) образы базисных векторов e₁…e_n.

Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно -каждая  квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа Y=Ax с координатами прообраза x , с другой стороны,  описывают действие оператора, заданного матрицей A.

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e = { e₁…e_n } к базису e´ = { e₁´…e_n´ } . Связь между матрицей A_e оператора A в базисе e  и матрицей A_e, этого оператора в базисе e´ задается формулой .

Здесь  - матрица перехода от базиса e к базису e´ и обратная к ней.