Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 20.Кривые второго порядка

20. Кривые второго порядка. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Их основные свойства.

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фокуса, и директрисы. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы и обозначается через р>0.

Свойства:

1.симметрична относительно ОХ; ОХ- ось симметрии

2.р > 0 => х > 0 ; расположена справа относительно оси ОУ

3.х=0 ; у = 0

4.при увеличении х, увеличивается |y|

5. y² = -2px (парабола слева относительно начала коорд.)

x² = 2py (парабола сверху относительно начала коорд.)

x² = -2py (парабола снизу относительно начала координат)

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная. Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF₁ – MF₂|=2a или MF₁ – MF₂ =±2a,

Свойства:

Симметрична относительно ох , оу и начала координат

2. Осью гиперболы называется прямая, соединяющая её фокусы.

Расстояние от начала координат до одного из фокусов гиперболы называют фокусным расстоянием гиперболы .

Расстояние от начала координат до одной из вершин гиперболы называется большой или вещественной полуосью гиперболы .

Расстояние от вершины гиперболы до асимптоты вдоль направления параллельного оси ординат называется малой или мнимой полуосью гиперболы .

Отношение фокусного расстояния к большой полуоси гиперболы называется эксцентриситетом: ε = c/a. Эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса.

Т.к. MF₁ + MF₂ = 2a

Т.к.

То получаем

Или

Свойства:

1.Эллипс симметричен относительно ох, оу и точки О (0;0)

2.Точки A, B, C и D называются вершинами эллипса. Отрезок AC называется большой осью эллипса, отрезок BD – малой осью. Числа a и b называют полуосями эллипса. Точки F₁(-c;0) и F₂(c;0), где c=√a² - b² , называются фокусами эллипса. Величину ε = c/a  называют эксцентриситетом эллипса.

Очевидно, для эллипса ε < 1. Поскольку |x|≤a то отсюда следует, что a – εx > 0. Поэтому F₁M = a + εx ; F₂M = a - εx

3. Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

Окружность - это геометрическое место точек плоскости, отстоящих от некоторой фиксированной точки M(x₀; y₀) (называемой центром окружности) на одинаковом расстоянии r (называемой радиусом окружности).

Задается неявным уравнением (x-x₀)²+(y-y₀)²=r².