Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 23.Сопряженный оператор

23. Сопряженный оператор. Сопряженная матрица. Самосопряженные операторы. Симметричные матрицы.

Сопряженные операторы

Пусть E_n — евклидово пространство с ортонормированным базисом e₁, e₂,  … , e_n и ^A: E_n → E_n — линейный оператор.

Линейный оператор ^A^* называется сопряженным линейному оператору ^A , если x, y   E_n

(^A x, y)=(x, ^A* y).

Т1. У любого линейного оператора ^A: E_n → E_n в евклидовом пространстве существует единственный сопряженный ему оператор, причем матрица сопряженного оператора в ортонормированном базисе является транспонированной по отношению к матрице самого оператора (в том же базисе).

Свойства сопряженного оператора.

^E^* = ^E ;

(^A + ^B)^* = ^A^* + ^B^* ;

(α ^A)^* = α ^A^* ;

(^A^B)^* = ^B^*^A^* ;

Оператор ^A называется самосопряженным, если "x, y О  E_n

(^A x, y) = (x, ^A y),

т.е. ^A^* = ^A .

Т2. Матрица оператора ^A: E_n → E_n совпадает со своей транспонированной (A = A^T) (в ортонормированном базисе) тогда и только тогда, когда оператор ^A — самосопряженный.

Доказательство следует из определения самосопряженного оператора и теоремы 1.

Напомним, что матрица A, совпадающая со своей транспонированной, называется симметричной.

Сопряженная матрица

В наиболее общем комплексном случае A*=A^{~T}, то есть матрица транспонируется и для каждого элемента берётся комплексно сопряжённый. В действительном случае, очевидно, A*=A^T, то есть матрица просто транспонируется. Транспонирование матрицы - перестановка строк и столбцов, то есть A^T ij = A ji, для всех ij, при которых матрица A определена.

Симметричной называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу A, что .

Это означает, что она равна её транспонированной матрице: A = A^T

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с действительными элементами справедливо следующее:

она имеет действительные собственные значения её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:

из её собственных векторов всегда можно составить ортонормальный базис

матрицу A можно привести к диагональному виду: A = QDQ^T, где Q — ортогональная матрица, столбцы которой содержат базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.