Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 42.Производные неявной функции

42.Производные неявной функции одной и нескольких переменных.

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области G плоскости задана функция f(x,y) , и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением f(x;y)=0, является графиком некоторой функции f , определяемой уравнением y=f(x) . В этом случае говорят, что функция f задана неявно уравнением f(x,y)=0 . Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция f(x, y) и ее частная производная по y непрерывны в G, f(=0, x₀ G,’(. Тогда в некоторой окрестности точки существует единственная непрерывная функция f , задаваемая уравнением y=f(x) , так, что в этой окрестности f(x,y(x)) .

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение f(x,y,z)=0 задает неявно функцию . Это же уравнение может задавать неявно функцию x=g(y,z) или y=u(x,z) .

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение f(x,y,z)=0:

+ .

Отсюда получим формулу для производной функции y=f(x) , заданной неявно: =- . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением F(x,y,z)=0 : =-, =-.