Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 51.Локальные экстремумы функции нескольких переменных

51. Локальные экстремумы функции нескольких переменных.

Экстремумы функций многих переменных.

Определение: Точка P₀(x₀;y₀) называется точкой экстремума (максимума или минимума)

функции z = f(x;y) , если f(x₀;y₀) есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции z = f(x;y) в некоторой окрестности точки P₀(x₀;y₀) .

При этом значение f(x₀;y₀) называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция f(x;y) имеет в точке P₀(x₀;y₀) экстремум (или достигает в точке P₀ экстремума).

Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума показан на рис. 1.

Теперь установим необходимые условия, при которых функция z = f(x;y) достигает в точке P₀(x₀;y₀) экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции.

Необходимый признак экстремума: Если в точке P₀(x₀;y₀) дифференцируемая функция z = f(x;y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны

нулю:

, .

Доказательство: Допустим, что функция z = f(x;y) имеет в точке P₀(x₀;y₀) экстремум.

Согласно определению экстремума функция z = f(x;y) при постоянном y = y₀, как функция одного достигает экстремума при x=x₀. Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции f(x;y₀), при x=x₀,

т. е.

.

Аналогично функция z = f(x;y) при постоянном x=x₀,, как функция одного , достигает экстремума при . Значит,

Что и требовалось доказать.

Точка P₀(x₀;y₀) , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции z = f(x;y), называется стационарной точкой функции f(x;y) .

Уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x;y):

для стационарной точки P₀(x₀;y₀) принимает вид z = z₀.

Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией z = f(x;y) экстремума в точке P₀(x₀;y₀) геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных.

Для отыскания стационарных точек функции z = f(x;y) нужно приравнять нулю обе ее частные производные

, . (*)

и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.