Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 36.Непрерывность отображения

36. Непрерывность отображения. Непрерывность числовой функции одной переменной, нескольких переменных.

Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности

этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если

существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой

точке:

Это означает:

- функция определена в точке х₀ и в ее окрестности;

- функция имеет предел при х→х₀

- предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, т.е.

выполняется равенство.

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти

к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х

подставить предельное значение х₀

Непрерывная функция — это непрерывное отображение, которое определено для числовых пространств.

Непрерывная числовая функция.

Положим, . (Вместо R, также допустимо использовать C.)

Функция f непрерывна в точке a, если для любого числа ε>0 найдётся такое число δ>0, что для всех точек условие влечет .

Или:

.

Если точка — предельная точка для множества , то имеет смысл говорить о пределе функции в данной точке .

Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .

Неприрывное отображение из R^m в Rⁿ

Обобщая одномерный случай, функция называется непрерывной в точке если

где

— евклидова норма в