Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 25.Приведение к канонич. виду кривых второго порядка

25. Приведение к каноническому виду кривых и поверхностей второго порядка. См.20.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости сумма расстояний от каждой из которых до 2-х данных точек называемых фокусами есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. F1(-c,0), F2(c,0).

F1+F2=2c,

r1+r2=2a, c<a,

MF1+MF2=2a,

положим а2-с2=b2, тогда b2x2+a2y2=a2b2 или x2/a2+y2/b2=1Полученное уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Элементами эллипса являются: точка О - центр эллипса; точки A, B, C, D - вершины эллипса; точки F1(с,0), F2(-с,0) - фокусы эллипса; 2c – фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле c=v(a^2-b^2 ); АВ=2а и CD=2b - большая и малая оси эллипса; a и b - большая и малая полуоси эллипса;e=c/a,(e<1)- эксцентриситет, который вычисляется по формуле е=v(1-b^2/а^2 ). Чем меньше е эллипса, тем эллипс будет меньше превращаться в окружность.

Форма эллипса зависит от отношения b/a, если b=a,то эллипс окружность.

х2+у2=а2-уравнение окружности.

Гипербола.

Гиперболой называют множество всех точек плоскости модуль разности расстояний от каждой из которых до 2-х данных точек, называют фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. F1(-c,0), F2(c,0)-фокусы,

|r_1-r_2 |=2a,a<c,

MF_1-MF_2=±2a,

Пусть c2-a2=b2, тогда b2x2-a2y2=a2b2 или x2/a2-y2/b2=1- Полученное уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Элементами гиперболы являются: точка О - центр гиперболы; точки А и В - вершины гиперболы; точки F1(+с,0) и F2(-с,0) - фокусы гиперболы; 2с - фокусное расстояние, которое вычисляется c=v(a^2+b^2 ), AB=2a - действительная ось гиперболы; CD=2b - мнимая ось гиперболы; b=v(c^2-a^2 ), e=c/a-эксцентриситет гиперболы, который вычисляется по формуле е=v(1+b^2/а^2 ), e>1. Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы.

Уравнения директрис гиперболы имеют вид:x=±a/e.

Парабола. –это множество всех точек плоскости, каждое из которых одинаково удалено от данной точки называется фокусом и данной прямой, называют директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметр (р) параболы (p>0).

r1=r2, MF=MN,

у^2=2xp - каноническое уравнение параболы.

Элементами параболы являются: точка О - вершина параболы; ox - ось параболы; точка F(р/2,O) – фокус параболы;х=-р/2 –уравнение директрисы параболы; е=1-эксцентриситет параболы. p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половины хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси ox).