Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 26.Понятие отображения

26.Понятие отображения. Числовая функция одной переменной, нескольких переменных, вектор-функция скалярного аргумента.

Функцией, заданной на множестве D со значениями из множества E, называется отображение множества D на множество E, т.е. правило, по которому каждому элементу x О D ставится в соответствие некоторый элемент y О E. Такая функция (отображение) обозначается следующим образом: y = f(x), x О X  или  f: D М X → E М Y.

Множество D называется областью определения функции, а множество E —областью ее значений.

Функция f(x) называется взаимно однозначной на множестве X, если для любых х₁, х₂ О X     f(х₁) = f(х₂) Ю х₁ = х₂.

Если функция u(x) отображает множество D в множество E₁, а функция f(u) отображает множество E₁ в множество E₂, то функция y = f(u(x)) называется сложной функцией, а также композицией функций (отображений) u и f. Она обозначаеися символом f°u. Поэтому f°u(x) = f(u(x)).

Функция f называется обратной для (к) функции u на множестве D, если "x О D      f(u(x)) = x.

Если E М R, то y = f(x) называется вещественнозначной (вещественной) функцией.

Если D М R, то y = f(x) называется функцией одной (вешественной) переменной.

Вещественная функция f(x) называется ограниченной на множестве X, если сушествуеет число M>0, такое что для любого x О X справедливо неравенство |f(x)| < M.

Функция f(x) называется возрастающей на интервале (a, b), если для любых x₁, x₂ О(a, b)

x₁ < x₂ Ю f(x₁) ≤ f(x₂).

Функция f(x) называется убывающей на интервале (a, b), если для любых x₁, x₂ О (a, b)

х₁ < x₂ Ю f(x₁) ≥ f(x₂).

Если выполняются строгие неравенства, то функция f(x) называется строго возрастающей или строго убывающей.

Убывающие и возрастающие функции называются монотонными.

Элементарными функциями называют функции, получающиеся из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции образования сложной функции.

Числовые функции нескольких переменных.

Обозначим через D некоторое множество точек в п-мерном пространстве.

Если задан закон f , в силу которого каждой точке М(х;...;х) D ставится в соответствие число и, то говорят, что на множестве D определена функция и= f(х;...;х).

Множество точек М(х;...;х), для которых функция и= f(х;...;х) определена, называют областью определения этой функции и обозначают D(f).

Функции многих переменных можно обозначать одним символом и=f(М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.

Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.

Графиком функции двух переменных z=f(х;у) в прямоугольной системе координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х;у;z) удовлетворяют уравнению z=f(х;у).

Вектор - функция скалярного аргумента

На множестве U задана вектор-фунция, если с каждой его точкой М совпадает вектор r(M). Если U – множество точек на прямой и на ней введена декартова координата t, то вектор-функция на U является вектор-функцией одного скалярного аргумента r(t);

Если U – множество точек на плоскости и на ней введена декартова система координат Ouv, то имеем вектор-функцию r(u,v) двух скалярных аргументов.

На плоскости

 , r(t)=x(t)i+y(t)j .

В пространстве

, r(t)=x(t)i+y(t)j +y(t)k .

Операции над вектор функциями

1) p(t), q(t) p(t)+ q(t)

2) l(t)r(t)

3) Скалярное произведение ( p(t) , q(t) )

4) В трехмерном пространстве определено векторное произведение [ p(t) , q(t) ]