Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 18.Уравнение плоскости

18.Вывод уравнения плоскости, векторного и координатного. Нормальное уравнение плоскости. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду. Расстояние от точки до плоскости. Понятие о гиперплоскости.

Рассмотрим в пространстве декартову систему координат.

Каждая точка пространства определяется радиусом вектором, т.е. упорядоченная тройка чисел, R³-пространставо.

В любую плоскость в пространстве можно задать с помощью следующих величин:

1. n₀, направленного по нормалям плоскости;

2. ρ - расстояние от точки О до плоскости.

⁻r₀=ρ⁻n₀

⁻r * ⁻n₀ - ρ = 0 (1)-нормальное уравнение в векторной форме.

Если введена прямоугольная декартовая система координат, то вектор

⁻r =(х,у,z),

⁻r₀ =(х₀, у₀, z₀),

⁻n₀=(cos α, cos β, cos γ).

Подставим в ур-е (1)

(х,у,z)(cosα,cosβ,cosγ)-q=0,

хcosα+уcosβ+zcosγ-q=0 (2) - ур-е плоскости в координатной форме.

Нормальное уравнение плоскости, где - углы, образуемые нормальным вектором плоскости с осями координат;

p - расстояние от начала координат до плоскости.

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду:

Здесь - нормирующий множитель плоскости, знак которого выбирается противоположным знаку D, если произвольно, если D = 0.

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть задана точка М₀ (х₀, у₀, z₀) и плоскость П:Ах+Ву+Сz+D=0, d-расстояние от точки до плоскости.

d = |Ах₀+Ву₀+Сz₀+D| / √ A² + B² + C²

Гиперплоскость.

Рассмотрим n-пространство (Rn). Общее уравнение будет иметь вид:

А₁х₁+А₂х₂+…+Аnxn+B=0,

⁻n=(А1;А2;...Аn).

Уравнение гиперплоскости можно привести к нормальному виду, используя нормирующий вектор.