Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 38.Свойство функций, неприрывных в точке и на отрезке

38.Свойство функций, непрерывных в точке и на отрезке.

Рассмотрим функцию f(x), определённую на некотором промежутке (a,b)⊂ R . Функция f(x) непрерывна в точке , если предел в точке x₀ равен значению функции в этой точке =f(x₀)

Или

Функция f ( x ), определенная в точке a , называется непрерывной в этой точке, если =f() По аналогии с понятием одностороннего предела вводятся понятия функции, непрерывной в точке a слева и справа. Функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a , быть может, за исключением самой точки a . Точка a называется точкой разрыва , если эта функция либо не определена в точке a , либо определена, но не является непрерывной в точке a .

Чаще всего разрыв возникает по двум причинам: 1)функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы;

2)функция не определена в данной точке. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она называется непрерывной на этом промежутке. Большинство функций, изучаемых в элементарной математике, непрерывны на всей области определения. Таковыми являются линейная функция y = kx + b , квадратичная y = ax 2 + bx + c , показательная, и некоторые тригонометрические функции.

Если функции f ( x ) и g ( x ) непрерывны в точке x 0, то их сумма и произведение также непрерывны в этой точке, а функция непрерывна в ней при условии, что g ( x 0 ) ≠ 0.

Функцию f ( x ) называют непрерывной на отрезке [ a ; b ], если она непрерывна в каждой точке интервала ( a ; b ) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b

Теорема Вейерштрасса. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], то она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема Коши о нулях непрерывной функции. Только на одном из отрезков – [ a 3 ; b 3 ] – имеется нуль функции, так как на этом отрезке функция непрерывна и принимает значения разных знаков на концах.

Теорема Коши. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [ a ; b ] имеется хотя бы один нуль функции f . При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз.

Или

Если функции F(x) и непрерывны на отрезке (a,b), дифференцируемы на интеграле (a,b) причём но для всех значений х из отрезка (a,b) существует хотя бы одна точка из отрезка, такая что выполняется неравенство

– (1)

Y=f(x)

F(x) ⋀⋁f(x) ⋀≠0(a, b)

Теорема о промежуточных значениях. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и f ( a ) ≠ f ( b ), то для каждого значения y , заключенного между f ( a ) и f ( b ), найдется точка x(a,b) (и возможно, не одна) такая, что f ( x ) = y .