Шпаргалка По Высшой Математике (Афанасьева С. Г.) / 24.Собственные значения и собств. векторы линейного оператора

24. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Пусть А - линейный оператор, действующий в линейном пространстве.

Число λ называется собственным значением, а ненулевой вектор х - соответствующим собственным вектором линейного оператора А, если они связаны между собой соотношением Ах = λх.

Пусть А - матрица оператора в некотором базисе.

Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением (A – λ E)x=0, где E - единичная матрица, а О - нулевой элемент пространства Х. Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы (A – λ E)x=0, которое существует тогда и только тогда, когда  det (A – λ E)=0. Следовательно,  собственные  значения  линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения det (A – λ E)=0, а собственные векторы -- как решения соответствующих однородных систем.

Уравнение det (A – λ E) = 0, называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен det (A – λ E) - характеристическим многочленом оператора.

Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:

характеристический многочлен оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве является многочленом  n-й степени относительно λ;

линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более n различных собственных значений;

собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;

если линейный оператор, действующий в  n-мерном линейном пространстве x , имеет n различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве x ; этот базис называют собственным базисом оператора;

матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.

Каждый собственный вектор имеет единственное собственное число.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Теорема. Если — произвольная квадратичная форма в n-мерном линейном пространстве L_n, то в этом линейном промтранстве существует базис, в котором квадратичная форма приводится к сумме квадратов.

На лекции алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов выделением полных квадратов продемонстрирован на примере.

Определение. Если квадратичная форма в некотором базисе имеет вид

То говорят, что она записана в этом базисе в канонической форме