Лабораторная работа №3. Определение законов распределения случайной физической величины

Цель:

• ознакомление с методикой подбора закона распределения случайной физической величины (ресурса службы);

Задачи:

• построить гистограммы;

• выдвинуть гипотезу о законе распределения;

• доказать (опровергнуть) гипотезу о принятом законе.

Основные теоретические сведения

Характеристикой надежности объектов может стать закон распределения их ресурсов. Наиболее распространенными законами распределения являются экспоненциальный и нормальный.

Нормальный закон свойственен для отказов, вызванных процессами старениями в результате износа.

Экспоненциальный закон распределения времени до отказа характерен для внезапных отказов на интервале времени, когда период приработки объекта закончился, а период износа и старения еще не начался (для нормальных условий эксплуатации, при которых интенсивность отказов постоянна).

Поэтому при определении закона распределения рекомендуется аппроксимировать экспериментальные характеристики ресурсов в первую очередь этими законами.

Нормальный закон распределения

Распределение плотности вероятности случайной величины:

, (1.1)

где – математическое ожидание среднего ресурса или средний ресурс:

, (1.2)

где T_i – ресурс i однотипного элемента;

n – количество однотипных элементов;

σ – стандартное отклонение:

. (1.3)

Вероятность безотказной работы в определенном временном интервале:

(1.4)

либо в определенный момент времени

(1.5)

где Ф – функция Лапласа (Приложение Б);

U – квантиль нормального распределения.

Установленный ресурс элемента Т_ру при доверительной вероятности =0,95:

. (1.6)

Экспоненциальный закон распределения

Формулы плотности вероятности и функции распределения при

(1.7)

Функция плотности вероятности:

(1.8)

вероятность безотказной работы в определенном интервале:

(1.9)

либо

. (1.10)

Установленный ресурс Т_ру элемента при доверительной вероятности =0,95:

. (1.11)

Проверка правдоподобия гипотезы о законе распределения

При изучении выборки необходимо определить закон распределения генеральной совокупности. Для этого проводится сравнение формы гистограммы с видом функции плотности вероятности законов распределения. Выдвигается статистическая гипотеза о том, что выборка и генеральная совокупность распределена по выбранному закону.

Проверка гипотезы означает проверку того, что исследуемая случайная величина подчиняется принятому закону распределения. При этом возможно две ситуации – гипотеза либо подтверждается, либо опровергается. При проверке статистических гипотез существует вероятность допустить две ошибки:

• опровергнуть верную гипотезу – ошибка первого рода α;

• принять ложную гипотезу – ошибка второго рода β.

Вероятность совершения ошибки первого рода называется уровнем значимости. Обычно принимают уровни значимости α=0,05; 0,01; 0,001 (пяти процентный, одно процентный и 0,1%-ный уровень).

Для проверки гипотезы используют специально подобранную случайную величину – статистический критерий сравнения законов распределения, так называемый критерий согласия: критерий ² (Пирсона), Колмогорова, Смирнова и др.

Критерий Пирсона является универсальным, т.к. применим для любых законов распределения.

Значение критерия Пирсона для выборки определяется как:

(1.12)

где n – объем выборки;

k – количество интервалов;

m_i – количество значений физической величины X, попавших в тот или иной интервал (абсолютная частота);

W_i – относительная частота;

p_i0 – теоретическое значение вероятности, вычисленное по формулам принятого закона распределения.

При n→ (W_i→p_i) (1.12) преобразуется:

(1.13)

p_i – значение вероятности, определенное по эмпирическим данным.

Для определения критического значения коэффициента Пирсона найдем число степеней свободы df:

df=k – 1 – r, (1.14)

где k – количество интервалов выборки;

r – число параметров предполагаемого распределения:

• r=2 – для нормального закона распределения (математическое ожидание m и среднеквадратичное отклонение σ), df=k – 3;

• r=1 – для показательного закона распределения (параметр распределения λ), df=k – 2.

Полученное расчетное значение сопоставляют с табличным (приложение В). Если , то гипотеза о принятом законе распределения ресурсов верна, иначе следует принимать гипотезу о другом законе распределения и выполнить необходимые расчеты.