Основные теоретические сведения
Законом распределения случайной величины называется функциональная зависимость между возможными значениями случайной величины и соответствующим им вероятностям. Наиболее полно законы распределения описываются двумя функциями – законом распределения случайной величины и плотностью вероятности, математическими характеристиками (см. лабораторную работу №2).
Время работы объекта до отказа τ имеет случайный характер и считается случайной величиной. В качестве основных функций надежности элемента принимают функцию распределения отказа (2.1) или функцию надежности (2.2). Интенсивность отказов определяется по зависимости (2.9).
Основными законами распределения в теории надежности являются: для дискретных величин – биноминальное распределение и распределение Пуассона, для непрерывных величин – экспоненциальное распределение, нормальное, гамма, Вейбулла-Гнеденко, ряд других.
Рассмотрим на примере трех законов.
Экспоненциальный закон распределения
Плотность вероятности и функция распределения экспоненциального (показательного) закона распределения:
и
,
где λ – параметр распределения. Статистический смысл параметра λ заключается в том, что λ – среднее число событий на единицу времени.
Данным законом описываются отказы в нормальный период эксплуатации (рис. 2.1), а также поток отказов оборудования в технологической цепочке, поток отказов изделий при испытаниях продукции.
Рис. 2.1. Типичная кривая изменения интенсивности отказов объекта с периодами: I – приработки; II – нормальной работы; III – старения
Распределение Вейбулла-Гнеденко
Функция распределения и плотность вероятности данного закона задаются формулами:
или
,
или
,
где α – параметр формы (определяется подбором в результате обработки экспериментальных данных), β – параметр масштаба, λ – параметр распределения.
Распределение Вейбулла-Гнеденко используется для описания времени жизни объектов в период приработки (рис. 2.1) и образцов, в которых поведение объекта определяется «наиболее слабым звеном».
Нормальное распределение
Функция распределения и плотность вероятности данного закона задаются формулами:
и
,
где σ – среднеквадратичное отклонение, m – математическое ожидание.
Нормальное распределение используется для описания времени жизни объектов в период старения (рис. 2.1).
Гамма распределение
Функция распределения и плотность вероятности данного закона задаются формулами
где α – параметр формы (определяется подбором в результате обработки экспериментальных данных); β – параметр масштаба; Γ(α) – гамма-функция
Гамма-распределению подчинены общий срок службы изделия, время достижения изделием предельного состояния при коррозии, время наработки до i-го отказа.
Задание
1. Построить графики функции надежности p(t), функции распределения отказов q(t), плотности отказов λ(t) для законов:
экспоненциального: t=100….3000, Δt=100, λ=0,001 ч-1;
Вейбулла-Гнеденко: t=0….100, Δt=2, λ=0,0001 ч-1, α=0,5.
нормального: t=3000…5000.
Для построения воспользоваться встроенными функциями:
для закона нормального распределения:
=НОРМ.РАСП(t; среднее значение; стандартное отклонение; интегральная);
где t –значение случайной величины; интегральная – определяет форму зависимости:
истина – для функции распределения F(t)
ложь– для плотности вероятности f(t)
для экспоненциального закона распределения
=ЭКСП.РАСП(t; лямбда; интегральная);
где x – значение случайной величины; лямбда – коэффициент распределения;
для закона распределения Вйебулла-Гнеденко
=ВЕЙБУЛЛ.РАСП(t; альфа; бета; интегральная);
где t – значение случайной величины; альфа – коэффициент формы; бета – коэффициент масштаба.
2. Сравнить кривые законов распределения (экспоненциального, Вейбула-Гнеденко, нормального) с кривой изменения интенсивности отказов объекта (рис. 2.1).
3. Определить вероятность отказа Q(t), вероятность безотказной работы P(t) и значение плотности отказов λ(t) для определенного момента времени, заданного Вами произвольно в имеющихся интервалах.